x के वे कौन-से मान हैं, जिनके लिए सदिश 2x²\(\hat{\text{i}}\) + 3x\(\hat{\text{j}}\) + \(\hat{\text{k}}\) और \(\hat{\text{i}}\) −2\(\hat{\text{j}}\) + x²\(\hat{\text{k}}\) के बीच का कोण अधिक कोण है?

संकल्पना:

• दो सदिशों के बीच का कोण \(\vec{\text{a}}\) और  \(\vec{\text{b}}\) द्वारा दिया गया है,\(\cos θ = {\vec{\text{a}}.\vec{\text{b}} \over |\vec{\text{a}}||\vec{\text{b}}|}\)​ 
• यदि \(\vec{\text{a}}\) = a₁\(\hat{\text{i}}\) + a₂\(\hat{\text{j}}\) + a₃\(\hat{\text{k}}\) और  \(\vec{\text{b}}\) = b1\(\hat{\text{i}}\) + b2\(\hat{\text{j}}\) + b3\(\hat{\text{k}}\), फिर\(\vec{\text{a}}.\vec{\text{b}} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

गणना:

दिया गया है: सदिशों के बीच का कोण 2x2\(\hat{\text{i}}\) + 3x\(\hat{\text{j}}\) + \(\hat{\text{k}}\) और \(\hat{\text{i}}\) −2\(\hat{\text{j}}\) + x2\(\hat{\text{k}}\) अधिक कोण है

सदिशों के बीच का कोण 2x2\(\hat{\text{i}}\) + 3x\(\hat{\text{j}}\) + \(\hat{\text{k}}\) और \(\hat{\text{i}}\) −2\(\hat{\text{j}}\) + x2\(\hat{\text{k}}\) निम्न द्वारा दिया गया है

\(\cos θ = {(2x^2 \hat{\text{i}}+3x \hat{\text{j}}+\hat{\text{k}}).(\hat{\text{i}}-2 \hat{\text{j}}+x^2\hat{\text{k}}) \over |2x^2 \hat{\text{i}}+3x \hat{\text{j}}+\hat{\text{k}}||\hat{\text{i}}-2 \hat{\text{j}}+x^2\hat{\text{k}}|}\)

⇒ \(\cos θ = {(2x^2 (1) +3x(-2)+1(x^2)) \over \sqrt{(2x^2)^2+(3x)^2+(1)^2}\sqrt{(1)^2+(-2 )^2+(x^2)^2}}\)

⇒ \(\cos θ = {3x^2 -6x \over \sqrt{4x^4+9x^2+1}\sqrt{5+x^4}}\)

चूँकि θ अधिक कोण है,

⇒ cos θ < 0

⇒ 3x² - 6x < 0

⇒ x(x - 2) < 0

⇒ 0 < x < 2

 ∴ सही विकल्प (1) है।