मान लीजिए f(x), x = 1 और x = 2 पर अंतिम मान वाले डिग्री चार के बहुपद हैं।

यदि \(\lim_{x \rightarrow 0} \left[1 + \frac {f(x)} {x^2} \right] = 3\) है, तो f(2) का मान क्या है?

संकल्पना:

फलन f के अंतिम मानों को ज्ञात करने के लिए, f'(x)=0 को निर्दिष्ट और हल कीजिए। 

गणना:

माना कि बहुपद f(x) = \(\rm ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) है।  

\(\rm \lim_{x \rightarrow 0} \left[1 + \frac {f(x)} {x^2} \right] = 3\\ ⇒ \lim_{x \rightarrow 0}\frac {f(x)} {x^2}=2\\ ⇒ \lim_{x \rightarrow 0}\frac {\rm ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}{x^2}=2\\ ⇒ \lim_{x \rightarrow 0}\rm ax^2+bx+c+\frac d x+\frac{e}{x^2}=2\\\)

अब, माना कि d = e = o है।  

इसलिए, \(\rm \lim_{x \rightarrow 0}\rm ax^2+bx+c=2\\ ⇒ c = 2\)

f(x) = \(\rm ax^4+bx^3+2x^2\)

f'(x) = \(\rm 4ax^3+3bx^2+4x\)

यहाँ, अंतिम मान 1 और 2 हैं, इसलिए f'(1) = f'(2) = 0 है। 

f'(1) = 4a + 3b + 4= 0 

उपरोक्त समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

16a + 12b + 16 = 0 ....(1)

और f'(2) = 32a + 12b + 8 =0 .....(2)

(1) को (2) से घटाने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

16a - 8 = 0

⇒ a = 1/2

(1) में a = 1/2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

8 + 12b + 16 = 0

⇒ b = -2 

f(x) = \(\rm \frac 1 2x^4-2x^3+2x^2\)

\(\Rightarrow f(2) =\rm \frac 1 2(2)^4-2(2)^3+2(2)^2\\ \Rightarrow 8 - 16 +8\\ \Rightarrow 0 \)