Question
Download Solution PDFनिम्नलिखित कथनों पर ध्यान दीजिए:
1. यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) दोनों अस्तित्व में हैं, तो \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में होता है।
2. यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में है, तो दोनों \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) को निश्चित रूप से अस्तित्व में होना चाहिए।
उपरोक्त में से कौन सा/कौन से कथन सत्य है/हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
सीमाओं के गुण:
- यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) दोनों अस्तित्व में हैं, तो \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में होता है।
- यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में है, तो यह आवश्यक नहीं है कि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) दोनों अस्तित्व में हो।
गणना:
हम जानते हैं कि, यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) दोनों अस्तित्व में हैं, तो \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में होता है।
अतः विकल्प (1) सही है।
हम जानते हैं कि,
यदि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left\{ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right\}\) अस्तित्व में है, तो यह आवश्यक नहीं है कि \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\) और \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)\) दोनों अस्तित्व में हो।
अतः विकल्प (2) गलत है।
Last updated on May 30, 2025
->UPSC has released UPSC NDA 2 Notification on 28th May 2025 announcing the NDA 2 vacancies.
-> A total of 406 vacancies have been announced for NDA 2 Exam 2025.
->The NDA exam date 2025 has been announced for cycle 2. The written examination will be held on 14th September 2025.
-> Earlier, the UPSC NDA 1 Exam Result has been released on the official website.
-> The selection process for the NDA exam includes a Written Exam and SSB Interview.
-> Candidates who get successful selection under UPSC NDA will get a salary range between Rs. 15,600 to Rs. 39,100.
-> Candidates must go through the NDA previous year question paper. Attempting the NDA mock test is also essential.