केंद्र O वाला एक वृत्त जो भुजा 'a' के वर्ग ABCD में इस प्रकार अंतर्गत है कि वह बिंदु P, Q, R और S पर वर्ग को स्पर्श करता है। वृत्त और वर्ग PQRS के बीच क्षेत्रफल क्या होगा?

Question

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Answer 1

संकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय: यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

1. वृत्त का क्षेत्रफल = πR²

जहाँ R = वृत्त की त्रिज्या

D = 2R

D = वृत्त का व्यास

2. भुजा 'a' वाले एक वर्ग को लेने पर।

वर्ग का क्षेत्रफल = a2

वर्ग का विकर्ण = √2 a

गणना:

माना अभीष्ट क्षेत्रफल A है।

दिया है कि,

वर्ग की भुजा = a

F1 Sachin Madhuri 07.10.2021 D1

हम जानते हैं कि त्रिज्या के अनुदिश खींची गई रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

इसलिए,

OP = OQ = OR = OS = a/2 = वृत्त की त्रिज्या

एक समकोण त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए

OP2 + OQ2 = PQ2

⇒ (a/2)2 + (a/2)2 = PQ2

⇒ PQ = a/√2

इसलिए,

वर्ग PQRS की भुजा a/√2 है

इसलिए वृत्त और वर्ग PQRS के बीच क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया गया है

A = एक वृत्त का क्षेत्रफल - वर्ग PQRS का क्षेत्रफल

⇒ A = \(\pi (\frac{a}{2})^2\ -\ (\frac{a}{\sqrt 2})^2\)

⇒ A = \(\frac{a ^2}{2}(\frac{\pi}{2}\ -\ 1)\)

अत: विकल्प 3 सही है।