समीकरण निकाय

x + y + z = 8,

x – y + 2z = 6 और

3x – y + 5z = k के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-से  सही है?

1. यदि k = 15 है, तो उनका कोई हल नहीं हैं। 

2. यदि k = 20 है, तो उनके अनंततः अनेक हल हैं। 

3. यदि k = 25 है, तो उनका अद्वितीय हल हैं। 

नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए:

संकल्पना

माना की समीकरण की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\({\rm{\;}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल के साथ समान है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ समान है।

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत है (कोई हल नहीं)। 

गणना:

दिया गया है कि समीकरण की प्रणाली x + y + z = 8, x – y + 2z = 6 और 3x – y + 5z = k है।

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 3&{ - 1}&5 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{k}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

A की सारणिक = |A| = 1 (-5 + 2) – 1 (5 – 6) + 1 (-1 + 3) = -3 + 1 + 2 = 0

इसलिए हम कह सकते हैं कि समीकरण में या तो अनंत रूप से हल है या कोई हल नहीं है। 

विशिष्ट हल संभव नहीं है। 

 ∴ कथन 3 गलत है। 

हमारे पास adj A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right]\)है

यदि K = 15 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right] \ne 0 \)

⇒ कोई हल नहीं

यदि K = 20 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right] = 0 \)

⇒ अनंत रूप से कई हल

अतः विकल्प 1 सहीं हैं।