यदि \(\rm D_n=\begin{vmatrix}n&20&30\\\ n^2&40&50\\\ n^3&60&70\end{vmatrix}\) है, तो \(\rm \Sigma_{n=1}^4D_n\) का मान कितना है?

अवधारणा:

3x3 आव्यूह का सारणिक:

• 3x3 आव्यूह का सारणिक सहखंड प्रसार विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।
• इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: \( \text{det}(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) \)
• यदि आव्यूह में पंक्तियों या स्तंभों में एक समान गुणक है, तो गणना को सरल बनाने के लिए इसे बाहर निकाला जा सकता है।
• \( \sum_{n=1}^{k} f(n) \) एक योग संकेतन है जो n = 1 से n = k तक फलन मानों के योग को दर्शाता है।
• प्रयुक्त महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ:
  • \( \sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2} \)
  • \( \sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
  • \( \sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)

गणना:

दिया गया है,

\( D_n = \begin{bmatrix} n & 20 & 30 \\ n^2 & 40 & 50 \\ n^3 & 60 & 70 \\ \end{bmatrix} \)

⇒ उभयनिष्ठ गुणनखंडों 20 और 10 को निकलने पर:

\( D_n = (20)(10) \begin{bmatrix} n & 1 & 3 \\ n^2 & 2 & 5 \\ n^3 & 3 & 7 \\ \end{bmatrix} \)

⇒ पहले स्तंभ का उपयोग करके सारणिक का विस्तार करने पर:

\( D_n = 200(-n + 2n^2 - n^3) \)

अब,

\( \sum_{n=1}^{4} D_n = 200 \sum_{n=1}^{4} (-n + 2n^2 - n^3) \)

⇒ \( = 200 \left[ -\frac{4(5)}{2} + 2 \cdot \frac{4(5)(9)}{6} - \left( \frac{4(5)}{2} \right)^2 \right] \)

⇒ \( = 200 (-10 + 60 - 100) \)

∴ मान -10000 है।