बिंदु A(2, 4, 6), B(−2, −4, −2), C(4, 6, 4) और D(8, 14, 12) पर विचार कीजिए। निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं ?

1. ये बिंदु आयत ABCD के शीर्ष हैं।

2. AC का मध्यबिंदु, BD के मध्यबिंदु के समान है।

नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए :

गणना:

कथन 1: बिंदु एक आयत ABCD के शीर्ष हैं।

बिंदु A(2, 4, 6), B(−2, −4, −2), C(4, 6, 4), और D(8, 14, 12).

\(AB=\sqrt{(-2-2)^{2}+(-4-4)^{2}+(-2-6)^{2}}\)

\(AB=\sqrt{16+64+64}\)

\(AB=\sqrt{144}\)

AB = 12

\(BC=\sqrt{(4+2)^{2}+(6+4)^{2}+(4+2)^{2}}\)

\(BC=\sqrt{36+100+36}\)

\(BC=\sqrt{172}\)

\(CD=\sqrt{(8-4)^{2}+(14-6)^{2}+(12-4)^{2}}\)

\(CD=\sqrt{16+64+64}\)

\(CD=\sqrt{144}\)

CD = 12

\(DA=\sqrt{(2-8)^{2}(4-14)^{2}+(6-12)^{2}}\)

\(DA=\sqrt{36+100+36}\)

\(DA=\sqrt{172}\)

अत: AB = CD और BC = DA

So, it could be a parallelogram or a rectangle. To confirm this, we will find the dot product of the vector \(\vec {AB} \ and \ \vec {AD}\) .

Refering to the diagram,

Therefore, The points are not the vertices of a rectangle ABCD. It is forming the parallelogram.

Hence, statement 1 is incorrect.

 इसलिए, कथन 1 सही है।

कथन 2:  AC का मध्य-बिंदु BD के समान है।

AC का मध्य-बिंदु = \(\left ( \frac{2+4}{2},\frac{4+6}{2},\frac{6+4}{2}\right )\)

= (3, 5, 5)

BD का मध्य-बिंदु = \(\left ( \frac{-2+8}{2},\frac{-4+14}{2},\frac{-2+12}{2}\right )\)

= (3, 5, 5)

इसलिए, AC का मध्य-बिंदु BD के समान है।

अत: कथन 2 सही है।

∴ सही विकल्प (2) है