Vector Calculus MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Vector Calculus - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన:

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు \(\vec{d}_1\) మరియు \(\vec{d}_2\) అయితే, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)

గణన:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
మరియు \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

భావన:

రెండు సదిశల స్కేలార్ ఉత్పత్తి ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a.b = |a||b| cosθ

గణన:

ఇవ్వబడింది, |a| = 9 మరియు |b| = 5\(\sqrt{2}\) మరియు θ = 45°.

a.b = 9 x 5\(\sqrt{2}\) x cos 45°

a.b = 45

Additional Information రెండు సదిశల క్రాస్ ఉత్పన్నం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a x b = |a||b| sinθ

భావన:

P (x₁ , y₁ , z₁) మరియు Q (x₂ , y₂ , z₂) అనే రెండు బిందువుల మధ్య దూర సదిశ ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\(\vec{PQ}=(x_2-x_1)\hat{a_x}+(y_2-y_1)\hat{a_y}+(z_2-z_1)\hat{a_z}\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది, P = (2, 0, 4)

Q = (6, -2, 5)

\(\vec{PQ}=(6-2)\hat{a_x}+(-2-0)\hat{a_y}+(5-4)\hat{a_z}\)

\(\vec{PQ}=4\hat{a_x}-2\hat{a_y}+\hat{a_z}\)

ఉపయోగించిన భావన:

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు \(\vec{d}_1\) మరియు \(\vec{d}_2\) అయితే, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)

గణన:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
మరియు \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

భావన:

రెండు సదిశల స్కేలార్ ఉత్పత్తి ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a.b = |a||b| cosθ

గణన:

ఇవ్వబడింది, |a| = 9 మరియు |b| = 5\(\sqrt{2}\) మరియు θ = 45°.

a.b = 9 x 5\(\sqrt{2}\) x cos 45°

a.b = 45

Additional Information రెండు సదిశల క్రాస్ ఉత్పన్నం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a x b = |a||b| sinθ

భావన:

P (x₁ , y₁ , z₁) మరియు Q (x₂ , y₂ , z₂) అనే రెండు బిందువుల మధ్య దూర సదిశ ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\(\vec{PQ}=(x_2-x_1)\hat{a_x}+(y_2-y_1)\hat{a_y}+(z_2-z_1)\hat{a_z}\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది, P = (2, 0, 4)

Q = (6, -2, 5)

\(\vec{PQ}=(6-2)\hat{a_x}+(-2-0)\hat{a_y}+(5-4)\hat{a_z}\)

\(\vec{PQ}=4\hat{a_x}-2\hat{a_y}+\hat{a_z}\)

ఉపయోగించిన భావన:

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు \(\vec{d}_1\) మరియు \(\vec{d}_2\) అయితే, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(\frac{1}{2}\left|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2\right|\)

గణన:

\(​\vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\hat{i}-3 \hat{j} \)
మరియు \(\vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+\hat{k}+2 \hat{j}-\hat{k} \)
\( \Rightarrow \vec{b}+\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{j} \)
సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం \(=\frac{1}{2}|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})| \)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} \hat{2}& \hat{j}& \hat{k} \\ 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{array}\right|\)
\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|\hat{i}(0-0)-j(0-0)+\hat{k}(2-3)| \)\( \Rightarrow \text { area }=\frac{1}{2}|-\hat{k}|=\frac{1}{2}\)

భావన:

రెండు సదిశల స్కేలార్ ఉత్పత్తి ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a.b = |a||b| cosθ

గణన:

ఇవ్వబడింది, |a| = 9 మరియు |b| = 5\(\sqrt{2}\) మరియు θ = 45°.

a.b = 9 x 5\(\sqrt{2}\) x cos 45°

a.b = 45

Additional Information రెండు సదిశల క్రాస్ ఉత్పన్నం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

a x b = |a||b| sinθ

భావన:

P (x₁ , y₁ , z₁) మరియు Q (x₂ , y₂ , z₂) అనే రెండు బిందువుల మధ్య దూర సదిశ ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\(\vec{PQ}=(x_2-x_1)\hat{a_x}+(y_2-y_1)\hat{a_y}+(z_2-z_1)\hat{a_z}\)

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది, P = (2, 0, 4)

Q = (6, -2, 5)

\(\vec{PQ}=(6-2)\hat{a_x}+(-2-0)\hat{a_y}+(5-4)\hat{a_z}\)

\(\vec{PQ}=4\hat{a_x}-2\hat{a_y}+\hat{a_z}\)