चतुर्भुज MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parallelogram - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

समांतर चतुर्भुज का आधार 8% बढ़ाया गया है।

समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 4% बढ़ाई गई है।

प्रयुक्त सूत्र:

क्षेत्रफल में कुल प्रतिशत वृद्धि = (आधार में प्रतिशत वृद्धि + ऊँचाई में प्रतिशत वृद्धि + (आधार में प्रतिशत वृद्धि × ऊँचाई में प्रतिशत वृद्धि) / 100)

गणना:

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज का प्रारंभिक क्षेत्रफल A है।

वृद्धि के बाद, आधार = 1.08 × आधार हो जाता है और ऊँचाई = 1.04 × ऊँचाई हो जाती है।

नया क्षेत्रफल = 1.08 × 1.04 × A

कुल प्रतिशत वृद्धि = ((1.08 × 1.04) - 1) × 100

⇒ कुल प्रतिशत वृद्धि = (1.1232 - 1) × 100

⇒ कुल प्रतिशत वृद्धि = 0.1232 × 100

⇒ कुल प्रतिशत वृद्धि = 12.32%

इसके क्षेत्रफल में कुल प्रतिशत वृद्धि 12.32% है।

दिया गया है:

दो भुजाओं का अनुपात = 3 : 5

परिमाप = 96 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 × (आसन्न भुजाओं का योग)

गणना:

माना, भुजाएँ 3x और 5x हैं।

परिमाप = 2 × (3x + 5x)

96 = 2 × (8x)

96 = 16x

⇒ x = 96 / 16

⇒ x = 6

आसन्न भुजाएँ 3x और 5x हैं।

3x = 3 × 6 = 18 सेमी

5x = 5 × 6 = 30 सेमी

इसलिए, समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ 18 सेमी और 30 सेमी हैं।

दिया गया है:

AE ⊥ DB

CF ⊥ DB

AE = 8 सेमी

BD = 15 सेमी

FC = 12 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

आकृति का क्षेत्रफल = त्रिभुज ADB का क्षेत्रफल + त्रिभुज CDB का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

गणना:

त्रिभुज ADB का क्षेत्रफल:

आधार (BD) = 15 सेमी

ऊँचाई (AE) = 8 सेमी

त्रिभुज ADB का क्षेत्रफल = 1/2 × 15 × 8

⇒ त्रिभुज ADB का क्षेत्रफल = 60 सेमी²

त्रिभुज CDB का क्षेत्रफल:

आधार (BD) = 15 सेमी

ऊँचाई (FC) = 12 सेमी

त्रिभुज CDB का क्षेत्रफल = 1/2 × 15 × 12

⇒ त्रिभुज CDB का क्षेत्रफल = 90 सेमी²

आकृति का कुल क्षेत्रफल = त्रिभुज ADB का क्षेत्रफल + त्रिभुज CDB का क्षेत्रफल

⇒ कुल क्षेत्रफल = 60 सेमी² + 90 सेमी²

⇒ कुल क्षेत्रफल = 150 सेमी²

आकृति का क्षेत्रफल 150 सेमी² है।

संप्रत्यय:

किसी भी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

व्याख्या:

एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में, कोण A और कोण B का अनुपात 1:2 है।

माना ∠A = x, ∠B = 2x

तब x + 2x = 180

⇒ 3x = 180 ⇒ x = 60

इसलिए, ∠A = 60°

अतः विकल्प (3) सही है।

गणना:

हम जानते हैं कि एक समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं, और विपरीत कोण बराबर होते हैं। साथ ही, विपरीत भुजाओं के दोनों जोड़े समानांतर होते हैं। इसलिए, सही उत्तर है:

∴ उपरोक्त में से एक से अधिक

दिया गया है:

समांतर चतुर्भुज ABCD में, AL और CM क्रमशः CD और AD पर लंब हैं।

AL = 20 सेमी, CD = 18 सेमी और CM = 15 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2 × (समानांतर भुजाओं का योग)

गणना:

आधार DC के साथ ABCD का क्षेत्रफल = AL × DC = 20 × 18 

⇒ 360 वर्ग सेमी

पुनः, आधार AD के साथ ABCD का क्षेत्रफल = CM × AD = 15 × AD 

⇒ 360 वर्ग सेमी =  15 × AD 

⇒ AD = 24 सेमी 

∴ AD = BC = 24 सेमी, DC = AB = 18 सेमी 

ABCD का परिमाप = 2 × (24 + 18)  

⇒ 2 × 42 

⇒ 84 सेमी

∴ अभीष्ठ परिणाम = 84 सेमी​

दिया गया है:

एक समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 300 सेमी² है

प्रयुक्त अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2(a + b)

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = a × b

जहाँ a और b विपरीत भुजा से समांतर चतुर्भुज की कोई भुजा और ऊँचाई है

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

CD × 20 = 300

CD = 15

फिर से

AD × 30 = 300

AD = 10

तो, परिमाप = 2 (15 + 10)

⇒ 50 सेमी

∴ समांतर चतुर्भुज का परिमाप 50 सेमी है।

विकर्ण के समानांतर चतुर्भुज सूत्र से,

AC² + BD² = 2 (AB² + BC²)

⇒ 8² + BD² = 2 (7² + 9²)

⇒ 64 + BD² = 2 (49 + 81) = 260

⇒ BD² = 260 – 64 = 196

⇒ BD = 14 सेमी

∴ अन्य विकर्ण की लम्बाई = 14 सेमी

व्याख्या -

यदि हम दोनों आकृतियों को जोड़ देते हैं, तो हमें नीचे दी गई नई आकृति प्राप्त होती है -

यह एक समांतर चतुर्भुज है। 

और हम जानते हैं कि समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\times h \times (a+b)\)

जहाँ h ऊँचाई है और a, b समांतर चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं।

अब, \(2(a+b)=\frac{1}{2} \times h \times (2a+2b+2a+2b)\) 

⇒ \(2(a+b)=\frac{1}{2} \times h \times (4a+4b)\)

⇒ \(2(a+b)=\frac{1}{2} \times h \times 4(a+b)\)

⇒ h = 1

अतः सही उत्तर विकल्प (ii) है। 

दिया है:

एक समांतर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल 770 वर्ग सेमी है

भुजाओं RS और PS की लंबाई क्रमशः 55 सेमी और 28 सेमी है

प्रयुक्त सूत्र:

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

गणना:

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

770 = 55 × ऊँचाई

⇒ H = 14 सेमी = PM

Δ PSM में,

Sin ∠S = 14/28 = 1/2

∠S = 30∘ 

∴ ∠S, 30∘ है।  

दी गई जानकारी से,

माना कि ABCD समानांतर चतुर्भुज है।

हम जानते हैं कि,

समानांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 2 × (त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल)

अब हम मान लेते हैं कि a = 20 मीटर, b = 15 मीटर और c = 15 मीटर

हम जानते हैं कि,

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]

जहाँ,

s = अर्द्ध परिधि

a, b और c = त्रिभुज ABC की भुजाएँ

⇒ s = (a + b + c)/2 = (20 + 15 + 15)/2 = 25 मीटर

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = √[25 × (25 - 20) × (25 - 15) × (25 - 15)] = 50√5 वर्ग मीटर

रेखा QP और RS को बढ़ाएं जो वे T पर मिलेंगी और वे एक समबाहु त्रिभुज बनाएंगी

∆QRT एक समबाहु त्रिभुज है, भुजा = 18 सेंटीमीटर,

⇒ ∆QRT का क्षेत्रफल = √3/4 × 18 × 18 = 81√3 वर्ग सेंटीमीटर

⇒ ∆TSP समकोण त्रिभुज है, PS = 9 सेंटीमीटर,

⇒ TS = 9 tan 30° = 9/√3 सेंटीमीटर

⇒ ∆TSP का क्षेत्रफल = 1/2 × 9/√3 × 9 = (27√3)/2 वर्ग सेंटीमीटर

अब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = ∆QRT का क्षेत्रफल - ∆TSP का क्षेत्रफल

⇒ चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = [81√3 - (27√3)/2]

∴ चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = (135√3)/2 वर्ग सेंटीमीटर

जैसा कि हम जानते हैं,

चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ समानान्तर और बराबर हैं और इसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विविभाजित करते हैं।

विकल्प (1) को देखिए

ΔADC और ΔABD में

⇒ AC = DB(विपरीत भुजाएँ)

⇒ AD = AD(उभयनिष्ठ)

⇒ ∠ACD = ∠ABD      (विपरीत कोण)

अब, हम कह सकते हैं ΔACD ≅ ΔDBA, ΔADC ≅ ΔABD नहीं

अवधारणा -

(1) समांतर चतुर्भुज ABCD में सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं।
(2) साथ ही, त्रिभुज ABC में कोणों का योग 180° होना चाहिए
m∠ACB + m∠BAC + m∠CAB = 180°

स्पष्टीकरण -

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है ∠ACB = 40° और ∠BAC = 80°

ज्ञात कोण की मापों को प्रतिस्थापित करें:

40° + 80° + m∠CBA = 180°
m∠CBA = 180° - 40° - 80° = 60°

 (1) से, समांतर चतुर्भुज ABCD में सम्मुख कोण सर्वांगसम होते हैं।

अतः, ∠ADC की माप 60° है।

अतः, सही उत्तर ∠ ADC = 60° है।

प्रयुक्त अवधारणा:

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। 

गणना:

अब,

2x + 5 = 2y + 1

⇒ 2y - 2x = 5 - 1

⇒ 2(y - x) = 4

⇒ y - x = 2      ----(1)

और, 2y - 6 = x + 3

⇒ 2y - x = 3 + 6 

⇒ 2y - x = 9      ----(2)

समीकरण (1) को समीकरण (2) से घटाने पर

2y - x - y + x = 9 - 2

⇒ y = 7

समीकरण (1) से,

x = 5

समांतर चतुर्भुज की भुजा = 2x + 5 = 2 × 5 + 5 = 15

और, x + 3 = 5 + 3 = 8

∴ समांतर चतुर्भुज की भुजा 15 इकाई और 8 इकाई है।