Energy Conservation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Energy Conservation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

आधुनिक ऊर्जा रूपांतरण प्रणालियों में PID नियंत्रक

आधुनिक ऊर्जा रूपांतरण प्रणालियों में, PID (आनुपातिक-पूर्णांक-व्युत्पन्न) नियंत्रक मुख्य रूप से लोड आवृत्ति को स्थिर करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। ये नियंत्रक बिजली प्रणालियों की स्थिरता और दक्षता के प्रबंधन और रखरखाव में आवश्यक हैं। वे प्रणाली में इनपुट को समायोजित करके त्रुटियों को ठीक करते हैं, इस प्रकार यह सुनिश्चित करते हैं कि प्रणाली वांछित सेट बिंदु पर संचालित होता है। आइए दिए गए विकल्पों का विश्लेषण करें:

1. "ईंधन दहन दर को अधिकतम करना।" (गलत है)

   • जबकि PID नियंत्रक ईंधन दहन प्रक्रियाओं को प्रभावित कर सकते हैं, ऊर्जा रूपांतरण प्रणालियों में उनकी प्राथमिक भूमिका ईंधन दहन दर को अधिकतम करना नहीं है, बल्कि प्रणाली की स्थिरता और दक्षता को बनाए रखना है।

2. "लोड आवृत्ति को स्थिर करना।" (सही है)

   • लोड आवृत्ति को स्थिर करने के लिए बिजली प्रणालियों में PID नियंत्रकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। वे वांछित आवृत्ति से किसी भी विचलन को ठीक करने के लिए प्रणाली में नियंत्रण इनपुट को समायोजित करते हैं, जिससे विश्वसनीय और स्थिर संचालन सुनिश्चित होता है।

3. "बॉयलर सुरक्षा सुनिश्चित करना।" (गलत है)

   • जबकि बॉयलर सुरक्षा सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है, ऊर्जा रूपांतरण प्रणालियों में PID नियंत्रकों का प्राथमिक उपयोग परिचालन स्थिरता और दक्षता को बनाए रखने पर अधिक केंद्रित है, न कि सीधे सुरक्षा सुनिश्चित करने पर, जिसे आमतौर पर अन्य सुरक्षा तंत्र और नियंत्रण प्रणालियों द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

4. "शीतन मीनार दक्षता में सुधार करना।" (गलत है)

   • हालाँकि शीतन मीनार के संचालन के विभिन्न पहलुओं में सुधार के लिए PID नियंत्रकों का उपयोग किया जा सकता है, ऊर्जा रूपांतरण प्रणालियों में उनकी प्राथमिक भूमिका लोड आवृत्ति को स्थिर करना है, जो समग्र प्रणाली प्रदर्शन के लिए अधिक महत्वपूर्ण है।

व्याख्या:

परिणामित्र में बिना भार की स्थिति में, कुछ हानियाँ होती हैं जबकि अन्य नहीं होती हैं। आइए इस संदर्भ में विभिन्न प्रकार की हानियों का विश्लेषण करें।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. भँवर धारा हानि (विकल्प 1)

   • भँवर धारा हानि कोर में प्रेरित धाराओं द्वारा उत्पन्न होती है। यह हानि तब भी होती है जब परिणामित्र बिना भार की स्थिति में हो।

2. हिस्टैरिसीस हानि (विकल्प 2)

   • हिस्टैरिसीस हानि प्रत्यावर्ती धारा के प्रत्येक चक्र में कोर सामग्री के चुम्बकन और विचुम्बकन के कारण होती है। यह हानि बिना भार की स्थिति में भी होती है।

3. ताम्र हानि (विकल्प 3)

   • ताम्र हानि (I²R हानि) कुंडली के प्रतिरोध के कारण होती है। बिना भार की स्थिति में, कुंडली में धारा न्यूनतम होती है, इसलिए ताम्र हानि नगण्य होती है या महत्वपूर्ण रूप से नहीं होती है।

4. परावैद्युत हानि (विकल्प 4)

   • प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र के कारण परिणामित्र कुंडली की रोधन सामग्री में परावैद्युत हानि होती है। यह हानि भार की स्थिति की परवाह किए बिना होती है।

निष्कर्ष:

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प 3 (ताम्र हानि) बिना भार की स्थिति में परिणामित्र में महत्वपूर्ण रूप से नहीं होती है, जो इसे सही उत्तर बनाता है।

व्याख्या:

सौर PV प्रणाली का प्रदर्शन अनुपात

सौर प्रकाशवोल्टीय (PV) प्रणाली का प्रदर्शन अनुपात (PR) प्रणाली की दक्षता का एक माप है, जो वास्तविक और सैद्धांतिक ऊर्जा उत्पादों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करता है। PR विभिन्न कारकों से प्रभावित होता है, जिनमें शामिल हैं:

• पैनल का अभिविन्यास: सौर पैनल जिस कोण और दिशा में स्थित होते हैं, वह उनके द्वारा प्राप्त सौर विकिरण की मात्रा को प्रभावित कर सकता है।

• प्रतीपक की दक्षता: DC शक्ति को AC शक्ति में बदलने में प्रतीपक की दक्षता समग्र प्रणाली की दक्षता को प्रभावित करती है।

• मॉड्यूल का तापमान गुणांक: तापमान में वृद्धि के साथ सौर मॉड्यूल का प्रदर्शन कम हो जाता है; यह गुणांक उस संबंध को निर्धारित करता है।

• केबल का आकार: उचित केबल आकार प्रतिरोध के कारण ऊर्जा हानि को कम करता है और कुशल बिजली संचरण सुनिश्चित करता है।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. "पैनल का अभिविन्यास" (महत्वपूर्ण, लेकिन सबसे अधिक प्रभाव नहीं)

   • जबकि सौर पैनलों का अभिविन्यास और झुकाव ऊर्जा संग्रहण को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है, उन्हें अनुकूलित किया जा सकता है और समय के साथ क्षय नहीं होता है।

   • ठीक से अभिविन्यासित पैनल ऊर्जा संग्रह को अधिकतम करते हैं लेकिन प्रभाव तापमान गुणांक से कम है।

2. "प्रतीपक की दक्षता" (महत्वपूर्ण, लेकिन सबसे अधिक प्रभाव नहीं)

   • DC को AC पावर में कुशलतापूर्वक परिवर्तित करने के लिए प्रतीपक की दक्षता महत्वपूर्ण है, लेकिन आधुनिक प्रतीपक अत्यधिक कुशल (95-98%) होते हैं।

   • प्रतीपक की अकुशलता के कारण होने वाली हानि मॉड्यूल पर तापमान के प्रभावों की तुलना में अपेक्षाकृत कम होता है।

3. "मॉड्यूल का तापमान गुणांक" (सबसे अधिक प्रभाव)

   • तापमान गुणांक सीधे सौर मॉड्यूल की दक्षता को प्रभावित करता है। उच्च तापमान मॉड्यूल के वोल्टता उत्पादन और समग्र दक्षता को कम करते हैं।

   • यह प्रभाव अपरिहार्य और निरंतर है, जो इसे प्रदर्शन अनुपात में एक महत्वपूर्ण कारक बनाता है।

   • मुख्यतः गर्म जलवायु में तापमान गुणांक ऊर्जा उत्पादन का एक महत्वपूर्ण निर्धारक है।

4. "केबल का आकार" (महत्वपूर्ण, लेकिन सबसे अधिक प्रभाव नहीं)

   • प्रतिरोधक हानि को कम करने और कुशल बिजली संचरण सुनिश्चित करने के लिए उचित केबल आकार आवश्यक है।

   • हालाँकि, सही आकार और स्थापना के साथ, प्रदर्शन अनुपात पर प्रभाव तापमान प्रभावों से कम होता है।

व्याख्या:

चक्रों का उनके अनुप्रयोगों से मिलान

ऊष्मागतिकी और ऊष्मा इंजन में, विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए विभिन्न चक्रों का उपयोग किया जाता है। यहाँ चक्र और उनके संगत अनुप्रयोग दिए गए हैं:

• ब्रेटन चक्र: इस चक्र का सामान्यतः जेट इंजन में उपयोग किया जाता है।

• रैन्किन चक्र: इस चक्र का मुख्य रूप से भाप ऊर्जा संयंत्रों में उपयोग किया जाता है।

• ऑटो चक्र: इस चक्र का उपयोग पेट्रोल इंजन में किया जाता है।

• डीजल चक्र: इस चक्र का उपयोग भारी ट्रकों और जहाजों में किया जाता है।

व्याख्या:

ईंधन से मुक्त ऊर्जा की गणना

42000 kJ/kg के कैलोरी मान और 85% दहन दक्षता वाले 5 kg ईंधन के दहन से मुक्त ऊर्जा का निर्धारण करने के लिए, हमें इन चरणों का पालन करना होगा:

• चरण 1: ईंधन की कुल अंतर्निहित ऊर्जा की गणना करें।

• चरण 2: वास्तव में मुक्त हुई ऊर्जा ज्ञात करने के लिए दहन दक्षता को ध्यान में रखें।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. चरण 1: ईंधन की कुल अंतर्निहित ऊर्जा की गणना करें।

   • ईंधन का कैलोरी मान 42000 kJ/kg है। इसलिए, 5 kg ईंधन के लिए, कुल अंतर्निहित ऊर्जा होगी:

   • कुल अंतर्निहित ऊर्जा = 42000 kJ/kg × 5 kg = 210,000 kJ

2. चरण 2: वास्तव में मुक्त हुई ऊर्जा ज्ञात करने के लिए दहन दक्षता को ध्यान में रखें।

   • दहन दक्षता 85% है, जिसका अर्थ है कि कुल अंतर्निहित ऊर्जा का केवल 85% ही वास्तव में मुक्त होता है। इसलिए, वास्तव में मुक्त हुई ऊर्जा है:

   • वास्तव में मुक्त हुई ऊर्जा = 210,000 kJ × 0.85 = 178,500 kJ

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3: 178,500 kJ है। 

संकल्पना:

यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं तो,

ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके,

(K + P)I, प्रणाली = ( K + P)f , _{प्रणाली}       …(1)

जहाँ, K, P गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दर्शाते हैं। प्रणाली में स्प्रिंग और द्रव्यमान शामिल हैं।

चित्र में दिखाए अनुसार संदर्भ रेखा लेते हुए,

\( ⇒ {\bf{mgh}} + 0 = \frac{1}{2}{\bf{k}}{{\bf{x}}^2} + {\bf{mg}}\left( { - {\bf{x}}} \right)~\)

∵ टकराने के बाद द्रव्यमान अधिकतम संपीड़न (x) द्वारा संदर्भ रेखा से नीचे आ जाता है इसलिए द्रव्यमान के लिए स्थितिज ऊर्जा (-) चिह्न के साथ ली जाएगी। साथ ही, स्प्रिंग के अत्यधिक संपीड़न पर, द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा शून्य होगी।

\( ⇒ {\rm{mg}}\left( {{\rm{h}} + {\rm{x}}} \right) = \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

जहाँ m = द्रव्यमान , h = ऊँचाई, k = स्प्रिंग स्थिरांक, x = स्प्रिंग में अधिकतम विक्षेपण 

गणना:

दिया गया है:

वजन (W) = 500 N; h = 2 m; k = 0.5 kN/m = 500 N/m

वजन (W) = mg = 500 N

\( ⇒ 500 \times \left( {2\ +\ x} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 3.24 m

इस प्रकार पहली गिरावट में होने वाला विक्षेपण 3.24 m होगा।

Mistake Pointsइस प्रश्न का सटीक उत्तर 3.24 मीटर है, लेकिन विकल्पों में 3.24 मीटर उपलब्ध नहीं है, यह ISRO LPSC तकनीकी सहायक का आधिकारिक प्रश्न है और उन्होंने सही उत्तर 2 मीटर दिया है।

इसलिए, हमें स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की उपेक्षा करनी होगी।

स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए, हम व्यंजक प्राप्त करेंगे:

\( ⇒ mgh= \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

\( ⇒ 500 \times \left( {2} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 2 m

इसलिए पहली गिरावट में होने वाला अनुमानित विक्षेपण 2 मीटर होगा।

संकल्पना:

कोणीय संवेग एक सदिश राशि है।

किसी घूर्णित वस्तु के कोणीय संवेग का परिमाण इसके रैखिक संवेग (इसके द्रव्यमान ‘m' और रैखिक वेग ‘v' का गुणनफल) और इसके तत्कालीन गति की दिशा में इसके घूर्णन केंद्र से खींची गयी रेखा से लंबवत दूरी r के गुणनफल के बराबर होता है और यह वस्तु के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से होकर गुजरता है।

कोणीय संवेग = m × v × r

प्रतिघात से पहले कोणीय संवेग  (Li) = प्रतिघात के बाद कोणीय संवेग (Lf)

गणना:

दिया गया है:

m = 1 kg, u = 10 m/s, M = 20 kg, r = 1 m

Li = m × u × r = 1 × 10 × 1 = 10 

चूंकि पहिया प्रभाव के बाद गति को रोल करना शुरू कर देगा, इसलिए इसमें संपर्क के बिंदु के बारे में शुद्ध रोटेशन होगा क्योंकि संपर्क का बिंदु विराम की स्थिति में होगा (तात्कालिक रोटेशन या CIR का केंद्र)। माना कि सिस्टम (मिट्टी और पहिया) का अंतिम कोणीय वेग ω है। 

L_f = I_CIR × ω 

चूंकि मिट्टी का द्रव्यमान पहिया की तुलना में बहुत कम है, इसलिए CIR के पार जड़त्व आघूर्ण को लेते समय इसकी उपेक्षा की जा सकती है।

 \(I_{CIR} = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3MR^2}{2} \)

अब, (Li) = प्रभाव के बाद कोणीय सवेंग (Lf)

\(\Rightarrow 10 = \frac{3MR^2}{2} \omega \)

\(\Rightarrow 10 = \frac{3 \times 20 \times 1^2}{2} \omega = 30 \omega \)

\(ω = \frac 13~ rad/sec\)

संकल्पना:

चूंकि प्रणाली में शून्य ऊर्जा हृास है, प्रारंभिक स्थिति में कुल ऊर्जा अंतिम स्थिति में कुल ऊर्जा के बराबर होगी।

प्रारंभिक स्थिति पर केवल संभावित ऊर्जा मौजूद होती है और अंतिम स्थिति में, केवल गतिज ऊर्जा मौजूद होती है,इसलिए

ऊंचाई h पर स्थितिज ऊर्जा निचले स्तर पर कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होगी।

P.E. = K.E.स्थानांतरणीय+ K.E._{घूर्णी}

गणना:

दिया गया है:

प्रवृत्त समतल की ऊँंचाई = h, निचले स्तर पर सिलेंडर के अक्ष पर वेग = v

P.E. = K.E.स्थानांतरणीय + K.E.घूर्णी

mgh = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iω² 

mgh = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2} \times \frac{{m{r^2}}}{2} \times \frac{{{v^2}}}{{{r^2}}}\)  (∵ v = ωr)

\(v = \frac{{\sqrt {4gh} }}{{\sqrt 3 }}\)

इसलिए, ​\(v < \sqrt {\left( {2gh} \right)}\) सही है।

कॉन्सेप्ट:

पूर्ण प्रत्यास्थ टकराव:

यदि संवेग के संरक्षण का नियम और गतिज ऊर्जा टकराव के दौरान मान्य रहते हैं।

अप्रत्यास्थ टकराव

यदि टकराव के दौरान संवेग के संरक्षण का नियम मान्य रहता है जबकि गतिज ऊर्जा मान्य नहीं रहती है।

प्रत्यास्थापन का गुणांक (e)

e = टकराव के बाद सापेक्ष वेग/टकराव से पहले सापेक्ष वेग = \(\frac{{{v_2} - {v_1}}}{{{u_1} - {u_2}}}\)

• पूर्ण प्रत्यास्थ टकराव के लिए, e = 1
• अप्रत्यास्थ टकराव के लिए, e < 1
• पूर्ण रूप से अप्रत्यास्थ टकराव के लिए, e = 0

टकराव के बाद टकराने वाले निकायों का वेग:

\({v_1} = \frac{{{u_1}\left( {{m_1} - e{m_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} + \frac{{{u_2}\left( {{m_2}\left( {1 + e} \right)} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\)

\({v_2} = \frac{{{u_1}{m_1}\left( {1 + e} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} + \frac{{{u_2}\left( {{m_2} - e{m_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\)

प्रत्यास्थ टकराव के लिए, e = 1

\({v_1} = \frac{{\left( {{m_1} - {m_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}{u_1} + \left( {\frac{{2{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right){u_2}\)

\({v_2} = \left( {\frac{{2{m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right){u_1} + \left( {\frac{{{m_2} - {m_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right){u_2}\)

गणना:

यहाँ m₁ = m₂

v₁ = u₂, v₂ = u₁

इसलिए, समान द्रव्यमान वाले दो समरूप पूर्ण प्रत्यास्थ कणों के बीच टकराव के लिए, वेग टकराव के बाद एक-दूसरे से प्रतिस्थापित हो जाते हैं।

Concept:

शक्ति :

• विद्युत ऊर्जा द्वारा किए गए कार्य की दर को शक्ति कहा जाता है। इसे P से दर्शाया जाता है।
• शक्ति की SI इकाई वाट (W) है।
• वाट एक छोटी इकाई है, इसीलिए विद्युत ऊर्जा के लिए किलोवाट-घंटा को इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है।
• चूँकि वाट 1 J/s की ऊर्जा खपत दर ( SI इकाई ) है|

The energy lost by burning all of the fuel in 8 seconds, 

Required Energy = Total Energy - Elost  

\(E_{req}={Power~of~engine} × {Time}\)

Calculation:

Given:

Power = 1250 kW, Time = 8 sec, Total Energy = 10500 kJ

Ereq = 1250 × 8 = 10000 kJ

10000 = 10500 - Elost

Elost = 500 kJ

ऊर्जा का संरक्षण:

\(P.{E_1} + K.{E_1} = P.{E_2} + K.{E_2}\)

चूँकि, यहाँ गति में कोई हानि नहीं होती है, इसलिए

\(K.E = \frac{1}{2}m{v^2} \Rightarrow K.{E_1} = K.{E_2}\)

संकल्पना:

टकराव:

टक्कर का अर्थ है दो वस्तुओं का बहुत कम समय के लिए एक दूसरे के संपर्क में आना। दूसरे शब्दों में, टकराव बहुत कम अंतराल के लिए दो द्रव्यमानों के बीच पारस्परिक संपर्क है जिसमें टकराने वाले द्रव्यमान की गति और ऊर्जा में परिवर्तन होता है। कैरम खेलते समय आपने काइन्स पर स्ट्राइकर के प्रभाव पर ध्यान दिया होगा जब वे दोनों आपस में टकराते हैं।

दो वस्तुओं के बीच टकराव के लिए, प्रत्यवस्थान(रिस्टिट्यूशन) गुणांक  के बाद की सापेक्ष गति और  टकराव से पहले की सापेक्ष गतिअनुपात है। पुनर्स्थापना का गुणांक 0 (पूरी तरह से अकुशल टक्कर) और 1 (लोचदार टक्कर) के बीच की संख्या है।

m₁ = 2 kg, m₂ = 4 kg

u₁ = 2 m/s, u₂ = 0

According to Law of con conservation of Linear momentum:-

m₁ u₁ + m₂ u₂ = m₁ v₁ + m₂ v₂

m₁ u₁ = m₂ v₂ [u₂ = 0, v₁ = 0]

2 × 2 = 4 × v₂

v₂ = 1 m/s

coefficient of restitution (e):-

e = 

= x=−b±b2−4ac2a" id="MathJax-Element-10-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">x=−b±b2−4ac√2ax=−b±b2−4ac2a $x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

= 0.5

So the correct answer is Option 2

संकल्पना:

यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं तो,

ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके,

(K + P)I, प्रणाली = ( K + P)f , _{प्रणाली}       …(1)

जहाँ, K, P गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दर्शाते हैं। प्रणाली में स्प्रिंग और द्रव्यमान शामिल हैं।

चित्र में दिखाए अनुसार संदर्भ रेखा लेते हुए,

\( ⇒ {\bf{mgh}} + 0 = \frac{1}{2}{\bf{k}}{{\bf{x}}^2} + {\bf{mg}}\left( { - {\bf{x}}} \right)~\)

∵ टकराने के बाद द्रव्यमान अधिकतम संपीड़न (x) द्वारा संदर्भ रेखा से नीचे आ जाता है इसलिए द्रव्यमान के लिए स्थितिज ऊर्जा (-) चिह्न के साथ ली जाएगी। साथ ही, स्प्रिंग के अत्यधिक संपीड़न पर, द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा शून्य होगी।

\( ⇒ {\rm{mg}}\left( {{\rm{h}} + {\rm{x}}} \right) = \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

जहाँ m = द्रव्यमान , h = ऊँचाई, k = स्प्रिंग स्थिरांक, x = स्प्रिंग में अधिकतम विक्षेपण 

गणना:

दिया गया है:

वजन (W) = 500 N; h = 2 m; k = 0.5 kN/m = 500 N/m

वजन (W) = mg = 500 N

\( ⇒ 500 \times \left( {2\ +\ x} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 3.24 m

इस प्रकार पहली गिरावट में होने वाला विक्षेपण 3.24 m होगा।

Mistake Pointsइस प्रश्न का सटीक उत्तर 3.24 मीटर है, लेकिन विकल्पों में 3.24 मीटर उपलब्ध नहीं है, यह ISRO LPSC तकनीकी सहायक का आधिकारिक प्रश्न है और उन्होंने सही उत्तर 2 मीटर दिया है।

इसलिए, हमें स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की उपेक्षा करनी होगी।

स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए, हम व्यंजक प्राप्त करेंगे:

\( ⇒ mgh= \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

\( ⇒ 500 \times \left( {2} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 2 m

इसलिए पहली गिरावट में होने वाला अनुमानित विक्षेपण 2 मीटर होगा।

संकल्पना:

प्रारंभिक स्थिति में, केवल स्थितिज ऊर्जा मौजूद होती है और अंतिम स्थिति में केवल गतिज ऊर्जा मौजूद होती है, इसलिए,

ऊँचाई h पर स्थितिज ऊर्जा निचले स्तर पर कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होगी।

P.E. = K.E._{स्थानांतरीय} + K.E._{घूर्णी}

बेलन का द्रव्यमान MOI = 0.5mr2 = I

K.E. स्थानांतरीय = 0.5mv²

K.E. घूर्णी = 0.5Iω²

गणना:

दिया गया है:

बेलन का द्रव्यमान = 20 kg, त्रिज्या = 0.5 kg, आनत तल की ऊँचाई = 15 m.

P.E. = K.E._{स्थानांतरीय} + K.E._{घूर्णी}

mgh = 0.5mv2 + 0.5Iω2 

हम जानते हैं कि v = ωr

mgh = 0.5mω2r2 + 0.5Iω2 

mgh = Iω2 + 0.5Iω2

mgh = 1.5Iω2

mgh = 3 × 0.5Iω2

mgh = 3 × K.E. घूर्णी

K.E. घूर्णी = \(\frac{mgh}{3}\)

K.E. घूर्णी = \(\frac{20\;\times\;10\;\times\;15}{3}=1000\;J=1\;kJ\)

संकल्पना:

कोणीय संवेग एक सदिश राशि है।

किसी घूर्णित वस्तु के कोणीय संवेग का परिमाण इसके रैखिक संवेग (इसके द्रव्यमान ‘m' और रैखिक वेग ‘v' का गुणनफल) और इसके तत्कालीन गति की दिशा में इसके घूर्णन केंद्र से खींची गयी रेखा से लंबवत दूरी r के गुणनफल के बराबर होता है और यह वस्तु के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से होकर गुजरता है।

कोणीय संवेग = m × v × r

प्रतिघात से पहले कोणीय संवेग  (Li) = प्रतिघात के बाद कोणीय संवेग (Lf)

गणना:

दिया गया है:

m = 1 kg, u = 10 m/s, M = 20 kg, r = 1 m

Li = m × u × r = 1 × 10 × 1 = 10 

चूंकि पहिया प्रभाव के बाद गति को रोल करना शुरू कर देगा, इसलिए इसमें संपर्क के बिंदु के बारे में शुद्ध रोटेशन होगा क्योंकि संपर्क का बिंदु विराम की स्थिति में होगा (तात्कालिक रोटेशन या CIR का केंद्र)। माना कि सिस्टम (मिट्टी और पहिया) का अंतिम कोणीय वेग ω है। 

L_f = I_CIR × ω 

चूंकि मिट्टी का द्रव्यमान पहिया की तुलना में बहुत कम है, इसलिए CIR के पार जड़त्व आघूर्ण को लेते समय इसकी उपेक्षा की जा सकती है।

 \(I_{CIR} = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3MR^2}{2} \)

अब, (Li) = प्रभाव के बाद कोणीय सवेंग (Lf)

\(\Rightarrow 10 = \frac{3MR^2}{2} \omega \)

\(\Rightarrow 10 = \frac{3 \times 20 \times 1^2}{2} \omega = 30 \omega \)

\(ω = \frac 13~ rad/sec\)