जब 500 N का भार 2 m की ऊँचाई से 0.5 kN/m दृढ़ता के साथ स्प्रिंग पर गिरता है तो पहली गिरावट में अधिकतम विक्षेपण कितना होता है?

संकल्पना:

यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं तो,

ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करके,

(K + P)I, प्रणाली = ( K + P)f , _{प्रणाली}       …(1)

जहाँ, K, P गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दर्शाते हैं। प्रणाली में स्प्रिंग और द्रव्यमान शामिल हैं।

चित्र में दिखाए अनुसार संदर्भ रेखा लेते हुए,

\( ⇒ {\bf{mgh}} + 0 = \frac{1}{2}{\bf{k}}{{\bf{x}}^2} + {\bf{mg}}\left( { - {\bf{x}}} \right)~\)

∵ टकराने के बाद द्रव्यमान अधिकतम संपीड़न (x) द्वारा संदर्भ रेखा से नीचे आ जाता है इसलिए द्रव्यमान के लिए स्थितिज ऊर्जा (-) चिह्न के साथ ली जाएगी। साथ ही, स्प्रिंग के अत्यधिक संपीड़न पर, द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा शून्य होगी।

\( ⇒ {\rm{mg}}\left( {{\rm{h}} + {\rm{x}}} \right) = \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

जहाँ m = द्रव्यमान , h = ऊँचाई, k = स्प्रिंग स्थिरांक, x = स्प्रिंग में अधिकतम विक्षेपण 

गणना:

दिया गया है:

वजन (W) = 500 N; h = 2 m; k = 0.5 kN/m = 500 N/m

वजन (W) = mg = 500 N

\( ⇒ 500 \times \left( {2\ +\ x} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 3.24 m

इस प्रकार पहली गिरावट में होने वाला विक्षेपण 3.24 m होगा।

Mistake Pointsइस प्रश्न का सटीक उत्तर 3.24 मीटर है, लेकिन विकल्पों में 3.24 मीटर उपलब्ध नहीं है, यह ISRO LPSC तकनीकी सहायक का आधिकारिक प्रश्न है और उन्होंने सही उत्तर 2 मीटर दिया है।

इसलिए, हमें स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की उपेक्षा करनी होगी।

स्प्रिंग के विक्षेपण के कारण स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए, हम व्यंजक प्राप्त करेंगे:

\( ⇒ mgh= \frac{1}{2}{\rm{k}}{{\rm{x}}^2}~\)

\( ⇒ 500 \times \left( {2} \right) = \frac{1}{2} \times 500 \times {x^2}\)

⇒ x = 2 m

इसलिए पहली गिरावट में होने वाला अनुमानित विक्षेपण 2 मीटर होगा।