Conditional Probability MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Conditional Probability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\)

P(B) = \(\frac{17}{20}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{7}{10}\ \times \ \frac{20}{17}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{14}{17}\)

∴ যদি P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\) এবং P(B) = \(\frac{17}{20}\) হয়, তাহলে P(A/B) =\(\frac{14}{17}\) এর সমান

ধারণা:

1. P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)
2. P(B' ∩ A) = P(A) - P(A ∩ B)
3. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

​গণনা:

প্রদত্ত P(B) = \(\frac{3}{5}\), P(A/B) = \(\frac{1}{2}\) এবং P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

আমরা জানি P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\).

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{3}{10}\)

আমরা জানি P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) - P(B)

⇒ P(A) = \(\frac{3}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\)

⇒ P(A) = \(\frac{1}{2}\)

P(A ∪ B)' = 1 - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∪ B)' = 1 - \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)' = \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = P(A ∩ B')' = 1 - P(A ∩ B')

[ডি মর্গানের সূত্র অনুযায়ী]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [P(A) - P(A ∩ B)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [\(\frac{1}{2}-\frac{3}{10}\)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = \(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\)

∴ P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 4।

ব্যাখ্যা:

বিবৃতি I এর জন্য : P (A) = \(\frac{7}{{13}}\) , P (B) = \(\frac{9}{{13}}\) এবং P (A ∩ B) = \(\frac{4}{{13}}\)

আমরা জানি যে P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

মান বসিয়ে P(A/B) = 4/9 সত্য

বিবৃতি II এর জন্য :

• E ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি 3-এর গুণিতক', ∴ P(E) = 1/3 (3 এবং 6 হবে 3-এর গুণিতক)
• F ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড়', ∴ P(F) = 1/2 (জোড় সংখ্যাগুলি হবে 2, 4, 6)

​এখন, স্বাধীন ঘটনাগুলির জন্য P(E ∩ F) অবশ্যই P(E)P(F) হতে হবে

⇒ P(E ∩ F) = P(সংখ্যাটি জোড় এবং 3-এর গুণিতক অর্থাৎ শুধুমাত্র 6) = 1/6

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে P(E ∩ F) = P(E)P(F)

অতএব এই বিবৃতিটিও সত্য।

ধারণা:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

একইভাবে, \(P\left( {B\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( A \right)}},\;where\;P\left( A \right) \ne 0\)

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

একইভাবে, \(P\left( {B\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( A \right)}},\;where\;P\left( A \right) \ne 0\)

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

বিবৃতি 1:

যদি A এবং B পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা হয়, তাহলে P (A ∩ B) = 0।

আমরা জানি যে P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

এটি বিরোধিতা করে ∵ কোনো ঘটনার সম্ভাবনা A: 0 ≤ P (A) ≤ 1।

তাই বিবৃতি 1 ভুল।

বিবৃতি 2:

প্রদত্ত: P(A|B) = 1

আমরা জানি, \(P\;\left( {A\;|\;B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B{\rm{\;}}} \right)}}{{P\;\left( B \right)}} = 1\)

⇒ B ⊆ A

\( \Rightarrow P\;\left( {\bar B\;|\;\bar A} \right) = \frac{{P\;\left( {\bar A \cap \;\bar B} \right)}}{{P\;\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\overline {A \cup B} } \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = 1\)

সুতরাং, বিবৃতি 2 সঠিক।

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\)

P(B) = \(\frac{17}{20}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{7}{10}\ \times \ \frac{20}{17}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{14}{17}\)

∴ যদি P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\) এবং P(B) = \(\frac{17}{20}\) হয়, তাহলে P(A/B) =\(\frac{14}{17}\) এর সমান

ধারণা:

1. P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)
2. P(B' ∩ A) = P(A) - P(A ∩ B)
3. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

​গণনা:

প্রদত্ত P(B) = \(\frac{3}{5}\), P(A/B) = \(\frac{1}{2}\) এবং P(A ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

আমরা জানি P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}\).

⇒ P(A ∩ B) = \(\frac{3}{10}\)

আমরা জানি P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) - P(B)

⇒ P(A) = \(\frac{3}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\)

⇒ P(A) = \(\frac{1}{2}\)

P(A ∪ B)' = 1 - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∪ B)' = 1 - \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)' = \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = P(A ∩ B')' = 1 - P(A ∩ B')

[ডি মর্গানের সূত্র অনুযায়ী]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [P(A) - P(A ∩ B)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [\(\frac{1}{2}-\frac{3}{10}\)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - \(\frac{1}{5}\)

P(A' ∪ B) = \(\frac{4}{5}\)

P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = \(\frac{1}{5}+\frac{4}{5}\)

∴ P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 4।

ধারণা:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

একইভাবে, \(P\left( {B\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( A \right)}},\;where\;P\left( A \right) \ne 0\)

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

বিবৃতি 1:

যদি A এবং B পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা হয়, তাহলে P (A ∩ B) = 0।

আমরা জানি যে P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

এটি বিরোধিতা করে ∵ কোনো ঘটনার সম্ভাবনা A: 0 ≤ P (A) ≤ 1।

তাই বিবৃতি 1 ভুল।

বিবৃতি 2:

প্রদত্ত: P(A|B) = 1

আমরা জানি, \(P\;\left( {A\;|\;B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B{\rm{\;}}} \right)}}{{P\;\left( B \right)}} = 1\)

⇒ B ⊆ A

\( \Rightarrow P\;\left( {\bar B\;|\;\bar A} \right) = \frac{{P\;\left( {\bar A \cap \;\bar B} \right)}}{{P\;\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\overline {A \cup B} } \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = \frac{{P\left( {\bar A} \right)}}{{P\left( {\bar A} \right)}} = 1\)

সুতরাং, বিবৃতি 2 সঠিক।

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\)

P(B) = \(\frac{17}{20}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{P(A \ ∩ \ B)}{P(B)}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{7}{10}\ \times \ \frac{20}{17}\)

⇒ P(A | B) = \(\frac{14}{17}\)

∴ যদি P(A ∩ B) = \(\frac{7}{10}\) এবং P(B) = \(\frac{17}{20}\) হয়, তাহলে P(A/B) =\(\frac{14}{17}\) এর সমান

ব্যাখ্যা:

বিবৃতি I এর জন্য : P (A) = \(\frac{7}{{13}}\) , P (B) = \(\frac{9}{{13}}\) এবং P (A ∩ B) = \(\frac{4}{{13}}\)

আমরা জানি যে P(A/B) = \(\frac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

মান বসিয়ে P(A/B) = 4/9 সত্য

বিবৃতি II এর জন্য :

• E ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি 3-এর গুণিতক', ∴ P(E) = 1/3 (3 এবং 6 হবে 3-এর গুণিতক)
• F ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড়', ∴ P(F) = 1/2 (জোড় সংখ্যাগুলি হবে 2, 4, 6)

​এখন, স্বাধীন ঘটনাগুলির জন্য P(E ∩ F) অবশ্যই P(E)P(F) হতে হবে

⇒ P(E ∩ F) = P(সংখ্যাটি জোড় এবং 3-এর গুণিতক অর্থাৎ শুধুমাত্র 6) = 1/6

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে P(E ∩ F) = P(E)P(F)

অতএব এই বিবৃতিটিও সত্য।