\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}\) का मान किसके बराबर है?

This question was previously asked in
NIMCET 2013 Official Paper
View all NIMCET Papers >
  1. 0
  2. 1
  3. \(\dfrac{1}{2}\)
  4. \(\dfrac{1}{3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\dfrac{1}{3}\)
Free
NIMCET 2020 Official Paper
10.5 K Users
120 Questions 480 Marks 120 Mins

Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

  • \(\rm \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\).
  • \(\rm \dfrac{d}{dx}\left[f(x)\times g(x)\right]=f(x)\dfrac{d}{dx}g(x)+g(x)\dfrac{d}{dx}f(x)\).

 

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान \(\dfrac00\), \(\pm\dfrac{\infty}{\infty}\), 00, ∞0 इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

  • अनिश्चित रूप \(\dfrac 0 0\) के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
  • L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) के बराबर है। 

 

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\dfrac00\) एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\tan x - x}{x^3}\times\dfrac{x}{\tan x}\right]\).

हम जानते हैं कि \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}=1\) है, लेकिन \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}\) फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}= \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sec x(\sec x\tan x)}{6x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\sec^2 x+\tan x[2\sec x(\sec x \tan x)]}{3}=\dfrac{1}{3}\).

∴ \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=1\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\).

Latest NIMCET Updates

Last updated on Jun 2, 2025

-> NIMCET 2025 admit card will be declared on June 3, 2025. Candidates can download the hall ticket till June 8, 2025.

-> NIMCET 2025 exam is scheduled for June 8, 2025. It will be conducted in Computer-Based Test (CBT) mode and will consist of 120 multiple-choice questions.

-> NIMCET 2025 results will be declared on June 27, 2025.

-> Check NIMCET 2025 previous year papers to know the exam pattern and improve your preparation.

More Limit and Continuity Questions

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti fun teen patti joy vip teen patti master gold apk teen patti casino download