यदि \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए?

अवधारणा:

किसी फलन के लिए f, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) मौजूद हैं

\( ⇒ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = l = \;\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\) , जहाँ l एक परिमित मान है।

किसी भी फलन का कहना है कि f को बिंदु पर निरंतर कहा जाता है, अगर और केवल यदि \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l = f\left( a \right)\), जहाँ l एक परिमित मान है।

गणना:

दिया गया है कि: \(\rm f(x)= \frac{x^2+x-6}{x^2 +kx-3}\), x = 3 पर निरंतर नहीं है।

अतः, यदि कोई फलन x = a पर निरंतर नहीं है तब

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = l \neq f\left( a \right)\)

तो, फलन f(x) के लिए यदि भाजक x = 3 पर 0 है तो हम कह सकते हैं कि f (3) अनंत है और सीमा मौजूद नहीं हो सकती।

माना k का मान ज्ञात करें जिसके लिए f(x) का भाजक x = 3 के लिए 0 है।

तो, x2 + kx - 3 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करें

⇒ 32 + 3k - 3 = 0.

⇒ 6 + 3k = 0.

⇒ k = - 2.

इसलिए, विकल्प 1 सही है।