यदि f(x) = 3x⁴ - 4x² + 5, तो अन्तराल जिसमें f(x) रोली प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है, होगा

संकल्पना:

रोली प्रमेय: यदि कोई फलन f(x) [a, b] पर इस प्रकार परिभाषित है कि

1.  f(x) बंद अंतराल [a, b] में निरंतर है

2.  f(x) खुले अंतराल (a, b) पर अलग-अलग है

3. f(a) = f(b) या एक विशेष  f(a) = f(b) के रूप में हो तो (a, b) में कम से कम एक बिंदु x = C मौजूद है जैसे कि f'(c) = 0 जहां a < c <b।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ f(x) = 3x⁴ - 4x² + 5

अंतराल [0, -2] पर जाँच करें 

⇒ f(0) = 3 × 0 - 4 × 0 + 5

⇒ f(0) = 5

⇒ f(-2) = 3 × (-2)⁴ - 4(-2)² + 5

⇒ f(-2) = 3 × 16 - 4 × 4 + 5

⇒ f(-2) = 37

⇒ f(0) ≠ f(-2)

अंतराल [-1, 1] पर जाँच करें 

⇒ f(-1) = 3 × (-1)⁴ - 4 × (-1)² + 5

⇒ f(-1) = 3 - 4 + 5

⇒ f(-1) = 4

⇒ f(1) = 3(1)⁴ - 4 × (1)² + 5

⇒ f(1) = 3 - 4 + 5

⇒ f(1) = 4

⇒ f(-1) = f(1)

अंतराल [-1, 0] पर जाँच करें 

⇒ f(-1) = 4

⇒ f(0) = 5

⇒ f(-1) ≠ f(0)

अंतराल [1, 2] पर जाँच करें 

⇒ f(1) = 4

⇒ f(2) = 3 × (2)⁴ - 4 × (2)² + 5

⇒ f(2) = 48 - 16 + 5

⇒ f(2) = 37

⇒ f(1) ≠ f(2)

∴ यदि f(x) = 3x4 - 4x2 + 5, तो अंतराल [-1, 1] रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को पूरा करता है।