निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:

1. यदि ABC एक समकोण त्रिभुज है जो A पर समकोण है और यदि sin \(\rm B = \frac 1 3,\) है, तो cosec C = 3 है। 

2. यदि b cos B = c cos C है और यदि त्रिभुज ABC समकोण त्रिभुज नहीं है, तो ABC समद्विबाहु होनी चाहिए। 

उपरोक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सही है/हैं?

संकल्पना:

पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। 

भुजाएं a, b, c होनेवाले त्रिभुज ABC में sine नियम:

\(\rm \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=k\)

sin A - cos B =\(\rm 2\cos(\frac{A +B}{2})\sin(\frac{A -B}{2})\)

गणना:

1. हमारे पास है,

sin \(\rm B = \frac 1 3=\frac{P}{H}\)

इसलिए, समकोण त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है,

यहाँ, P = 1
H = 3
B = x

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

32 = 12 + x2

x2 = 8

\(\therefore x=2\sqrt{2}\)

अब , Cosec C = \(\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

अत: कथन (1) सही नहीं है।

2. दिया गया है कि,

b cos B = c cos C

sine नियम का उपयोग करते हुए,

\(\rm \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{K}\)

⇒ b = K sin B और c = K sin C

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

माना,
K = 2

⇒ 2 sin B cos B = 2 sin C cos C

⇒ sin 2B = sin 2C  [2 sin x cos x = sin 2x]

⇒ sin 2B - sin 2C = 0

सूत्र का उपयोग करने पर:

sin C - sin D = 2 cos \((\frac{C+D}{2})\) × sin \((\frac{C-D}{2})\)

⇒ 2 cos (B + C) sin (B - C) = 0

इस मामले में,

या तो,

cos (B + C) = 0

इसलिये, (B + C) = 90° .... (1)

या,

या sin (B -C) = 0

B - C = 0

⇒ B = C  .... (2)

समीकरण (1) और (2) से,

B = C = 45°

अत: ABC समद्विबाहु होना चाहिए

अत: विकल्प (2) सही है