त्रिज्या R = 5 cm वाले एक गैर-संवाही गोले में निर्देशांक प्रणाली के मूल O पर इसका केंद्र है जैसा नीचे दी गयी आकृति में दर्शाया गया है। इसमें त्रिज्या r = 1 cm वाली दो वृत्ताकार गुहिकाएँ हैं, जिसके केंद्र क्रमशः (0, 3 cm), (0, - 3 cm) पर हैं, और गोले के ठोस पदार्थ में एकसमान धनात्मक आवेश घनत्व \(\rho=\frac{1}{\pi} \mu \mathrm{Cm}^{-3}\) है। तो बिंदु P (4 cm, 0) पर विद्युत विभव की गणना कीजिए।

संकल्पना

एकसमान रूप से आवेशित गोले के अंदर विद्युत विभव निम्न है,

\(V = \frac{kQ}{2R}(3- \frac{r^2}{R^2})\)

जहाँ \(k = \frac{1}{4π \epsilon_0} = 9× 10^9\)

R = गोले की त्रिज्या, r गोले के केंद्र से दूरी है (r < R)।

एकसमान रूप से आवेशित गोले के बाहर विद्युत विभव निम्न है, जब ( r > R) है 

\(V = \frac{q}{4π \epsilon_0 r}\)

गणना:
दिया गया है: गोले की त्रिज्या R = 5 cm = 0.05 m

गुहिका की त्रिज्या r = 0.01 m

आवेशित घनत्व ρ = 1/π μ C-m^-3

गोले पर आवेश की गणना करने पर 

\(Q = \frac{4\pi}{3}R^3\rho \) = \(\frac{4\pi}{3}(0.05^3)× \frac{1}{\pi}\)

Q = 1.667×10^-10C

गुहिका q में आवेश 

\(q = \frac{4\pi}{3}(0.01^3)\frac{1}{\pi}\) = 1.333 ×10^-12C

बिंदु P (4 cm, 0)  पर विद्युत विभव,

\(V_p = V_{sphere} - 2V_{cavity}\)

\(\Rightarrow V_p = \frac{kQ}{2R}(3-\frac{r^2}{R^2}) - 2\times \frac{kq}{r}\)

\(\Rightarrow V_p = \frac{9\times 10^9\times 1.67\times 10^{-10}}{2\times 0.05}(3-(\frac{4}{5})^2) - 2\times \frac{9\times 10^9 \times 1.667\times 10^{-12}}{0.05}\)

\(\Rightarrow V_p = 9\times 10^9[ 3.94 \times 10^{-9} - 6.668\times 10^{-11}]\)

\(\Rightarrow V_p = 9\times 10^9[ 3.874\times10^{-9}]\)

\(\Rightarrow V_p = 34.92\ V\)

अतः बिंदु P पर आवेशित गोले के अंदर विद्युत विभव 34.92 है।Additional Information

आवेशित गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र का अवकलन  (r < R)

माना कि \(k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)

\(V = - \int\limits_\infty^R \frac{kQ}{r^2}dr -\int\limits_R^r\frac{kQ}{R^3}rdr\)

.\(V = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{2R^3}(r^2-R^2)\)

\(V= \frac{kQ}{2R}(3-\frac{r^2}{R^2})\)