Properties of Triangle MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Properties of Triangle - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

∆PQR లో, PQ = PR మరియు PT ⊥ QR.

PQ = 17 సెం.మీ

PT = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

శీర్షం నుండి భూమికి లంబం గీయబడిన సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, లంబం భూమిని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

త్రిభుజాలు PTQ మరియు PTR లలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:

PQ² = PT² + QT²

QR = 2 x QT

గణన:

PQ = PR = 17 సెం.మీ

∆PTQ లో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:

PQ² = PT² + QT²

⇒ 17² = 15² + QT²

⇒ 289 = 225 + QT²

⇒ QT² = 289 - 225

⇒ QT² = 64

⇒ QT = 8 సెం.మీ

QR = 2 x QT

⇒ QR = 2 x 8

⇒ QR = 16 సెం.మీ

QR కొలత 16 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ABC లో, D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు.

DL ⊥ AB మరియు DM ⊥ AC

DL = DM

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజంలో, ఒక భుజం మధ్య బిందువు నుండి మిగిలిన రెండు భుజాలకు గీయబడిన లంబాలు సమానమైతే, ఆ త్రిభుజం సమద్విబాహు త్రిభుజం అవుతుంది.

గణన:

DL = DM మరియు D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు అని ఇవ్వబడింది, దీని అర్థం త్రిభుజం ABD, త్రిభుజం ACD కి RHS (లంబకోణం-కర్ణం-భుజం) సర్వసమానత ద్వారా సర్వసమానం.

త్రిభుజం ABD ≅ త్రిభుజం ACD అయితే, దీని అర్థం AB = AC.

కాబట్టి, త్రిభుజం ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1: సమద్విబాహు త్రిభుజం

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ΔABC లో, సమీకరణం:

½ ∠A + ∠B + ∠C = 120°

మనం ¼ ∠A విలువను కనుగొనాలి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజంలో, అంతర్గత కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180° ఉంటుంది:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన సమీకరణం నుండి:

½ ∠A + ∠B + ∠C = 120°

సమీకరణంలో ∠B + ∠C = 180° - ∠A ని ప్రతిక్షేపించండి:

½ ∠A + (180° - ∠A) = 120°

⇒ ½ ∠A + 180° - ∠A = 120°

⇒ 180° - ½ ∠A = 120°

⇒ ½ ∠A = 180° - 120° = 60°

⇒ ∠A = 120°

ఇప్పుడు, మనం ¼ ∠A ని కనుగొనాలి:

¼ ∠A = ¼ × 120° = 30°

∴ ¼ ∠A విలువ 30°.

ఇచ్చినవి:

ABC అనే స్కేలెన్ త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల పొడవులు వరుసగా 3.8 సెం.మీ మరియు 6 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

• a + b > c, a - b < c
• c + a > b, c - a < b
• c + b > a, c - b < a

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

మూడవ భుజం (6 - 3.8) < x < (6 + 3.8)

⇒ 2.2 < x < 9.8

ఎంపికల ప్రకారం,

2.2 పై పరిస్థితిలో లేదు.

∴ సరైన సమాధానం 2.2.

ఇచ్చినవి:

త్రిభుజం PQR లో ఒక కోణం మిగిలిన రెండు కోణాల మొత్తం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, త్రిభుజం PQR ఏ రకమైనది?

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజంలో, ఒక కోణం మిగిలిన రెండు కోణాల మొత్తం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, ఆ త్రిభుజం స్థూల కోణ త్రిభుజం.

గణన:

త్రిభుజం PQR లోని కోణాలను A, B మరియు C అని అనుకుందాం.

ఇచ్చిన విధంగా A > B + C

ఏదైనా త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం 180° కాబట్టి:

A + B + C = 180°

ఇచ్చిన పరిస్థితి నుండి:

A > B + C

⇒ A > 90° (B + C < 90° కాబట్టి)

⇒ త్రిభుజం PQR స్థూల కోణ త్రిభుజం.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3).

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

త్రిభుజంలో, ABC, AB = 12 సెం.మీ మరియు AC = 10 సెం.మీ మరియు ∠BAC = 60°.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

కొసైన్ నియమం ప్రకారం, a, b మరియు c త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు ఉంటే ΔABC మరియు ∠C అనేది AC మరియు AB మధ్య కోణం అయితే,  a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

సాధన:

కాన్సెప్ట్ ప్రకారం,

BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC2 = 122 + 102 - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC2 = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC యొక్క కొలత 11.13 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం యొక్క మొదటి భుజం = 30 సెం.మీ

త్రిభుజం యొక్క రెండవ భుజం = x సెం.మీ

త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం = 42 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

(మూడవ భుజం - మొదటి భుజం) < రెండవ భుజం < (మూడవ భుజం + మొదటి భుజం)

గణన:

రెండవ భుజం యొక్క వ్యాప్తి = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ సరైన ఎంపిక 3.

ఇచ్చింది:

ABC అనేది B కోణం వద్ద లంబ కోణ త్రిభుజం, BC = 10 సెం.మీ

AC = 12 సెం.మీ, p అనేది B నుంచి AC వరకు లంబంగా ఉండే పొడవు

ఉపయోగించిన సూత్రం:

AR = 1/2 × భూమి × ఎత్తు

గణన:

ఒక Δ ABCలో, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

ΔABC యొక్క వైశాల్యం = ΔABC యొక్క వైశాల్యం

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం (5√11)/3 సెం.మీ

ఇవ్వబడింది:

AB = 8.4 సెం.మీ, మరియు AC = 5.6 సెం.మీ, DC = 2.8 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ, ఎదుటి భుజాన్ని త్రిభుజం యొక్క మిగిలిన రెండు భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్న రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

గణన:

భావన ప్రకారం,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

కాబట్టి, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 సెం.మీ

∴ భుజం BC పొడవు 7 సెం.మీ.

సాధన : 

ఇచ్చిన సమస్య:

CD అనేది ∠BCA యొక్క ద్విభాగము.

CD = DA

∠BDC = 76°

ఉపయోగించిన పద్దతి:

సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు కోణాలు కొలతలో సమానంగా ఉంటాయి.

కోణాల మొత్తం = త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180°.

సాధన:

ABC త్రిభుజంలో,

CD అనేది ∠BCA యొక్క ద్విభాగము.

⇒ ∠BCD = ∠DCA = θ

నుండి, CD = DA [ఇచ్చిన]

⇒ ∠DCA = ∠CAD = θ

⇒ ∠BDC = 76° [ఇచ్చిన]

⇒ ∠BDC = ∠DCA + ∠CAD

⇒ θ + θ = 76°

⇒ 2θ = 76°

⇒ θ = 38°

త్రిభుజంలో CBDలో,

∠BCD + ∠CDB + ∠CBD = 180°

⇒ θ + 76° + ∠CBD = 180°

⇒ 38° + 76° + ∠CBD = 180°

⇒ ∠CBD = 180° - 114°

⇒ ∠CBD = 66°

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

ఇచ్చిన సమస్య:

AB = 10 సెం.మీ, మరియు AC = 14 సెం.మీ

ఉపయోగించిన పద్దతి:

త్రిభుజం యొక్క కోణ ద్విభుజం త్రిభుజం యొక్క ఇతర రెండు భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

సాధన:

పద్దతి ప్రకారం..

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

కాబట్టి, BD : DC = 5 : 7

ఇప్పుడు, BC = 5 + 7

⇒ 12

కాబట్టి, BD : BC = 5 : 12

∴ అవసరమైన సమాధానం 5 : 12.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

AB = 8 సెం.మీ మరియు AC = 17 సెం.మీ ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం ABC

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

కర్ణం² = ఎదుటి భుజం2 + ఆసన్న భుజం² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం)

సాధన:

⇒ ఇచ్చిన త్రిభుజం ABCకి పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం

⇒ మనకు AC2 = AB2 + BC2 వస్తుంది

⇒ 172 = 82 + BC2 

⇒ BC2 = 225

⇒ BC = 15

⇒ ఇప్పుడు, పై త్రిభుజం ABCని రెండు లంబకోణ త్రిభుజాలు BDA మరియు BDCగా విభజించవచ్చు

⇒ AD = x మరియు DC = 17 – x పొడవును తెలియజేయండి

⇒ మనకు లభించే రెండు త్రిభుజాలకు పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం,

⇒ AB2 = AD2 + BD2 మరియు BC2 = DC2 + BD2 

⇒ పై సమీకరణం నుండి

⇒ 82 – x2 = 152 – (17 –x)2

⇒ 64 – x2 = 225 – (289 + x2 – 34x)

⇒ 64 – 225 + 289 = 34x = 128 = 34x

⇒ x = AD = 3.76

కాబట్టి, AD యొక్క పొడవు 3.76 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

AB = 10 సెం.మీ, మరియు AC = 14 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క కోణ ద్విభుజం వ్యతిరేక భుజాలను త్రిభుజం యొక్క ఇతర రెండు భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

గణన​:

భావన ప్రకారం,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

So, BD : DC = 5 : 7

∴ అవసరమైన సమాధానం 5 : 7.

ఇవ్వబడింది:

54 సెం.మీ పొడవు గల భూమి మరియు ప్రతి సమాన భుజం 45 సెం.మీ పొడవు గల సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమద్విబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం = 1/2 × b × √[a2 – (b/2)2]

గణన:

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క సమాన భుజాలు a సెం.మీ మరియు భూమి b సెం.మీ.గా ఉండనివ్వండి

ప్రశ్న ప్రకారం

సమద్విబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం = 1/2 × b × √[a2 – (b/2)2]

⇒ 1/2 × 54 × √[452 – (54/2)2]

⇒ 27 × √2025 – (27)2

⇒ 27 × √(2025 – 729)

⇒ 27 × √1296

⇒ (27 × 36) సెం.మీ2

⇒ 972 సెం.మీ2

∴ అవసరమైన వైశాల్యం 972 చ.సెం.మీ.