ఎత్తులు మరియు దూరాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Heights and Distances - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినది

పొగ గొట్టాలను కలిపే రేఖ భూమితో 45 ° కోణం చేస్తుంది.

ఒక ఇల్లు 25మీ, మరొకటి 10మీ ఎత్తు

లెక్కింపు

tan 45 = BR/AR = 1

∴ AR = BR

AS = RQ

AS = RQ = 10 మీ

BR = BQ - RQ = 25 - 10 = 15 మీ

AR = 15 మీ

రెండు ఇళ్ల మధ్య దూరం 15 మీ.

ఇచ్చినది:

10 మీటర్ల ఎత్తైన స్తంభం యొక్క తలపై మరియు పునాదిపై నిర్మించిన టవర్ యొక్క ఊర్ధ్వకోణాలు వరుసగా 30 ^° & 60 ^° .

లెక్కింపు:

AD స్తంభం మరియు BC టవర్ అయిన చోట ఇవ్వబడిన సమాచారంను ఈ క్రింది విధంగా రేఖాచిత్రంగా సూచించవచ్చు.

ప్రశ్న ప్రకారం,

మనము స్తంభం యొక్క ఎత్తు AD = 10 మీ.

∠CDE = 30 ^° మరియు ∠CAB = 60 ^°

క్రమ Δ ABCలో,

tan 60 ^° = BC/AB

⇒ √3 = (EC + BE)/AB (∵ AD = BE = 10మీ)

⇒ AB = (EC + 10)/√3 .....(1)

క్రమ ΔDECలో,

tan 30 ^° = EC/DE

⇒ 1/√3 = EC/AB (∵ DE = AB)

⇒ AB = √3EC .....(2)

సమీకరణం (1) & (2)ను సమానం చేయగా మనము పొందుతాము,

(EC + 10)/√3 = √3EC

⇒ EC + 10 = 3EC

⇒ EC = 10/2 = 5

టవర్ ఎత్తు = 10 + 5 = 15 (BE +EC)

∴ టవర్ ఎత్తు 15 మీ.

ఇచ్చిన:

భవనం ఎత్తు = 1000 మీ

ఊర్ద్వ  కోణం = 30°

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

టాన్ θ = లంబం/భూమి P/B

టాన్ 30° = 1/√3

√3 = 1.732 విలువ

లెక్కింపు:

టాన్ 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000 √3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 మీ

∴ సరైన సమాధానం 1732 మీ .

ఇచ్చిన:

ఒక నిర్దిష్ట బిందువు A నుండి టవర్ పైభాగం యొక్క ఎత్తు కోణం 30º. పరిశీలకుడు A నుండి టవర్ వైపు 20 మీటర్లు నడిచినట్లయితే, అప్పుడు టవర్ పైభాగం యొక్క ఎత్తు కోణం 15º పెరుగుతుంది.

వాడిన ఫార్ములా:

టవర్ ఎత్తు h మీటర్లు మరియు పాయింట్ A నుండి టవర్ బేస్ వరకు దూరం d మీటర్లు ఉండనివ్వండి.

పాయింట్ A నుండి:

టవర్ వైపు 20 మీటర్లు నడిచిన తర్వాత:

మరియు అని మాకు తెలుసు

లెక్కింపు:

పాయింట్ A నుండి:

⇒

20 మీటర్లు నడిచిన తర్వాత:

⇒

h కోసం రెండు వ్యక్తీకరణలను సమం చేయడం:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

హారంను హేతుబద్ధీకరించడం:

⇒

⇒

⇒

⇒

ఉపయోగించి :

⇒

⇒

∴ సరైన సమాధానం 10(√3 + 1) మీటర్లు.

ఉపయోగించిన భావన:

sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణము

లెక్కింపు:

గాలిపటం, తీగ మరియు నేలతో ఏర్పడిన లంబకోణ త్రిభుజాన్ని పరిశీలిద్దాం. నేల నుండి గాలిపటం యొక్క ఎత్తు గాలిపటం నుండి భూమికి గీసిన లంబ పొడవు. తీగ యొక్క పొడవు త్రిభుజం యొక్క కర్ణము. నేలపై ఉన్న గాలిపటం యొక్క ఎత్తు కోణం θగా అనుకుందాం.

లంబకోణ త్రిభుజం ABCలో, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

AC = గాలిపటం ఎత్తు = 30 మీ

AB =  తీగ యొక్క పొడవు = 60 మీ

⇒ sin θ = గాలిపటం ఎత్తు / తీగ పొడవు

⇒ sin θ = 30/60

⇒ sin θ = 1/2

⇒ θ = 30°

కాబట్టి, నేలపై గాలిపటం యొక్క ఎత్తు కోణం 3 0°.

ఇచ్చిన:

భవనం ఎత్తు = 1000 మీ

ఊర్ద్వ  కోణం = 30°

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

టాన్ θ = లంబం/భూమి P/B

టాన్ 30° = 1/√3

√3 = 1.732 విలువ

లెక్కింపు:

టాన్ 30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = 1000/BC

⇒ BC = 1000 √3

⇒ BC = 1000 × 1.732 = 1732 మీ

∴ సరైన సమాధానం 1732 మీ .

గణన:

ఇక్కడ, AD మరియు BE లు ఒకే నిచ్చెనలు.

కాబట్టి, AD = BE

Δ ACD లో,

AD ² = AC ² + CD ² = (y + 0.8) ² + 2.5 ²

Δ BCE లో,

BE ² = BC ² + CE ² = y ² + (2.5 + 1.4) ² = y ² + 3.9 ²

కాబట్టి, AD = BE

కాబట్టి, AD ² = BE ²

(y + 0.8) 2 + 2.5 2 = y 2 + 3.9 2

⇒ y ² + (0.8) ² + 2 × y × 0.8 + 6.25 = y ² + 15.21

⇒ 0.64 + 1.6y + 6.25 = 15.21

⇒ 1.6y = 15.21 - 0.64 - 6.25 = 8.32

⇒ y = 8.32 / 1.6 = 5.2

కాబట్టి,

AD ² = (y + 0.8) 2 + 2.5 2 = (5.2 + 0.8) ² + 2.5 ² = 36 + 6.25 = 42.25

కాబట్టి, నిచ్చెన పొడవు = AD = √42.25 = 6.5 మీ.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (2).

ప్లాట్‌ఫారమ్ ఎత్తు x మీ ఉండనివ్వండి.

⇒ tan45° = లంబం/ఆధారం = (47 – x) / 40

⇒ 1 = (47 – x) / 40

⇒ 40 = 47 – x

⇒ x = 7

∴ ప్లాట్‌ఫారమ్ ఎత్తు = 7 మీ

BE అనేది చెరువు నుంచి పక్షి యొక్క ఎత్తు.

⇒ BE = ED = h మీ.

⇒ AF = CE = 60 మీ.

⇒ BC = (h – 60) మీ. మరియు CD = (h + 60) మీ.

 ΔABCలో,

tan 30 = BC/AC

⇒ 1/√3 = (h – 60)/AC

⇒ AC = √3 (h – 60)      ----(i)

ΔADCలో

tan 60 = CD/AC

⇒ √3 = (h + 60)/AC

⇒ AC = (h + 60)/√3      ----(ii)

సమీకరణం (i) మరియు సమీకరణం (ii) నుంచి

√3 (h – 60) = (h + 60)/√3

⇒ 3 (h – 60) = (h + 60)

⇒ 3h – 180 – h = 60

⇒ 2h = 240

⇒ h = 120 మీ.

∴ చెరువు నుంచి పక్షి యొక్క ఎత్తు 120 మీ.

భావన:

పొడవు L గల టవర్ నుండి D దూరంలో ఉన్న బిందువు చేసే ఊర్థ్వకోణం θ అయితే

tan θ =  

గణన:

టవర్ యొక్క పొడువు OP ని x గా ఉండనివ్వండి

చిత్రం నుండి,

OA = 

OB =  

OC =  

∴ AB = OA - OB =  

BC = OB - OC = 

⇒  

⇒  

⇒ 

3x = x + 40

2x = 40

x = 20 మీ

Concept : 

Calculations :

సమన భూమి పై నిలబడి ఉన్న గోపురం యొక్క నీడను బట్టి, సూర్యుని ఎత్తు 60° కంటే 30° ఉన్నప్పుడు సమన భూమి 50 మీ పొడవుగా ఉన్నట్లు గుర్తించబడుతుంది.

h అనేది గోపురం ఎత్తు మరియు 'l' అనేది నీడ పొడవు అని అనుకుందాం.

డేటాసమాచారం నుండి, మేము కలిగి ఉన్నాము

⇒ ....(1)

అదేవిధంగా,

⇒ ....(2)

(1)(1)      ----(3) నుండి

(2)లో ఉంచండి

⇒
⇒ L + 50 = 3L

⇒ L = 25 మీ

⇒ h = 25 [3 నుండి]

∴ గోపురం ఎత్తు 25

పరిష్కారం:

జెండా కు మరియు పరిశీలకుడి మధ్య దూరం x మీ అనుకొనిన.

OFAలో,

OFGలో,
(i) మరియు (ii) నుండి, మనకు లభిస్తుంది

ఇచ్చినది:

భూమిపై ఒక బిందువు నుండి టవర్ పైభాగం యొక్క ఊర్ధ్వకోణము 30°.

టవర్ వైపు 30 మీటర్లు నడిచిన తర్వాత, పైభాగం యొక్క ఊర్ధ్వకోణము 60° అవుతుంది.

లెక్కలు:

AB టవర్ మరియు C మరియు Dలు అనేది పరిశీలనా బిందువుగాఅనుకుందాం

▵ABDలో, = tan60° = √3

=> AD =

=

▵ABCలో, = tan30° =

=> AC = AB × √3 = h√3

∴ CD = (AC - AD) = h√3 -

=> h√3 - = 30

=> = 30

=> 3h - h = 30√3

=> h =

=> h = 15√3

=> h = 15 × 1.73

=> h = 25.95~26

∴ సమాధానం 26 మీ.

ఇచ్చింది:

నిచ్చెన పొడవు = 25 మీ

పునాది దూరం = 7 మీ

ఉపయోగించిన భావన:

కర్ణము² = లంబం² + భూమి²

గణన:

AB అనేది భవనం యొక్క ఎత్తుగా అనుకుందాం, BC అనేది నిచ్చెన అడుగు నుండి భవనం యొక్క పునాది దూరం మరియు AC అనేది నిచ్చెన పొడవు.

ΔABCలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపచేద్దాం

AC2 = AB2 + BC2

⇒ 252 = AB2 + 72

⇒ 625 = AB2 + 49

⇒ 625 - 49 = AB2

⇒ 576 = AB2

⇒ AB = 24

కాబట్టి, భవనం యొక్క ఎత్తు = 24 మీ

నిచ్చెన 4 మీటర్లు జారిన తర్వాత

భవనం యొక్క అడుగు వరకు నిచ్చెన పైభాగం యొక్క పొడవు 24 - 4 = 20 సెం.మీ.

DB కొత్త పొడవుగా అనుకుందాం మరియు BE నిచ్చెన అడుగు నుండి భవనానికి కొత్త పునాది దూరం

ΔDBEలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం

DE ² = DB ² + BE ²

⇒ 25 ² = 20 ² + BE ²

⇒ 625 = 400 + BE 2

⇒ 625 - 400 = BE 2

⇒ 225 = BE 2

⇒BE = 15

కాబట్టి, నిచ్చెన ద్వారా జారిపడిన దూరం = CE = 15 - 7

⇒ 8 మీ.

∴ నిచ్చెన ద్వారా జారిపడిన అడుగుభాగం 8 మీ.