Special Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि a1, a2, a3,..गुणोत्तर श्रेणी में सार्व अनुपात r के साथ हैं,

 \(​​​​r=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{a_{4}}{a_{3}}\)

यदि a प्रथम पद हो, r किसी गुणोत्तर श्रेणी का उभयनिष्ठ अनुपात हो तो,

\(\rm S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

गणना:

गणना:

माना अभीष्ट योग S है।

⇒ S = \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+...\)

⇒ S =\(\frac{2-1}{2} + \frac{4-1}{4}+\frac{8-1}{8}+\frac{16-1}{16}+...\)

⇒ S = \(1-\frac{1}{2} +1- \frac{1}{4}+1-\frac{1}{8}+1-\frac{1}{16}+...n\ term\)

⇒ S = \( n-[\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...n\ term]\)

इस प्रकार, a = 1/2 और r = 1/2

हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेणी (r <1) के n^वें पद का योग निम्न है

\(\rm S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)

⇒ S = \(n- \frac{(1/2)[1-(1/2)^n]}{1-1/2}\)         (∵ 1/an = a-n)

⇒ S = n - 1 + 2-n

∴ S = n + 2-n -1

संकल्पना:

1. समांतर श्रेणी के nवें पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है;

an = a + (n – 1) d

2. पहला पद a और सार्व अंतर d वाले एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(\rm {S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right]\)     ----(1)

या

\({S_n} = \frac{n}{2} × \left[ {a + l} \right]\)

जहां,

an = nवां पद और l = अंतिम पद

गणना:

दिया गया है:

\(3 + \dfrac{9}{2} + 6 + \dfrac{15}{2} + .....\)

d = 3/2

n = 25

a = 3

समीकरण (1) से;

\(S_{25} = \dfrac{25}{2} [2a + (25-1) \times d] \)

\(= \dfrac{25}{2} \left[ 2 \times 3 + (24) \times \dfrac{3}{2} \right]\)

\(= \dfrac{25}{2} \times 42 = 25 \times 21 = 525\)

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग: \( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)।

गणना:

दी गई श्रृंखला के पहले 24 पदों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{2}+ \sqrt{8}+\sqrt{18}+\sqrt{32}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{2}+ 2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+\ ...\ +24\sqrt2\)

\(\rm =\sqrt2(1+2+\ ...\ +24)\)

\(\rm =\sqrt2\times \dfrac{24\times25}{2}=300\sqrt2\).

गणना:

\(\rm \left(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{α+2}+....+\frac{1}{α+1012}\right) - \left(\frac{1}{2.1}+\frac{1}{4.3}+\frac{1}{6.5}+....+\frac{1}{2024.2023}\right)=\frac{1}{2024}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{α+2}+\ldots+\frac{1}{α+2012}\right)\) \(-\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}\right)\right\}=\frac{1}{2024}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{α+2}+\ldots+\frac{1}{α+2012}\right)\) \(-\left\{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\ldots+\frac{1}{2023}\right.\) \(\left.-\frac{1}{2024}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2022}\right)\right\}=\frac{1}{2024}\)

⇒ \(\left(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{α+2}+\ldots+\frac{1}{α+2012}\right)\) \(-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2023}\right)\) \(+\frac{1}{2024}+\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{1011}\right)=\frac{1}{2024}\)

⇒ \(\frac{1}{α+1}+\frac{1}{α+2}+\ldots+\frac{1}{α+2012}\) = \(\frac{1}{1012}+\frac{1}{1013}+\ldots+\frac{1}{2023}\) 

⇒ α = 1011

गणना

दिया गया है

\(\rm \frac{1}{1-3.1^2+1^4}+\frac{2}{1-3.2^2+2^4}+\frac{3}{1-3.3^2+3^4}+..\)

⇒ T_r = \(\frac{r}{1-3\cdot r^2+r^4}\) = \(\frac{r}{1-2\cdot r^2-r^2+r^4}\) = \(\frac{r}{(r^2-1)^2-r^2}\)

⇒ T_r = \(\frac{1}{2}\frac{(r^2+r-1)-(r^2-r-1)}{(r^2+r-1)(r^2-r-1)}\) = \(\frac{1}{2}(\frac{1}{r^2-r-1}-\frac{1}{r^2+r-1})\)

S₁₀ = \(\sum_{r=1}^{10}\frac{1}{2}(\frac{1}{r^2-r-1}\frac{1}{r^2+r-1})\)

⇒ \(\frac{1}{2}[ (\frac{-1}{1}-\frac{1}{!})+(\frac{1}{1}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{11})+ ....(\frac{1}{89}-\frac{1}{109})]\)

⇒ \(\frac{1}{2}[\frac{-1}{1}-\frac{1}{109}]\) = \(-\frac{55}{109}\)

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

ex का विस्तार:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}+ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

गणना:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}++ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

x = -1 रखने पर,

\(\rm e^{(-1)} = 1+ \dfrac{(-1)}{1!}++ \dfrac{(-1)^2}{2!}+ \dfrac{(-1)^3}{3!}+ \dfrac{(-1)^4}{4!}+ .....\)

\( \rm e^{-1} = 1- \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}- \dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}- .....\)

\( \therefore \rm 1- \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}- \dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}- ..... = \frac 1 e\)

गणना:

\(\rm \frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} +...+\frac{1}{{n \times (n+1)}} \)

\(\rm = \frac{{2\; - \;1}}{{1 \times 2}} + \frac{{3\; - \;2}}{{2 \times 3}} + \frac{{4\; - \;3}}{{3 \times 4}} +... + \frac{{(n+1)\; - \;n}}{{n \times (n+1)}}\)

\(\rm = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \;\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)

\(\rm = 1 - \frac {1}{n+1}\)

\(\rm = \frac {n+1 -1}{n+1}\)

\(\rm = \frac {n}{n+1}\)

गणना:

दिया हुआ: Let S = \(\frac{1}{{4 ⋅ 10}} + \frac{1}{{10 ⋅ 16}} + \frac{1}{{16 ⋅ 22}} + \frac{1}{{22 ⋅ 28}} + \frac{1}{{28 ⋅ 34}}\)

अब हम S को फिर से लिख सकते हैं जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

\(S = \frac{1}{6} \times \left[ {\frac{{10 - 4}}{{4 ⋅ 10}} + \frac{{16 - 10}}{{10 ⋅ 16}} + \frac{{22 - 16}}{{16 ⋅ 22}} + \frac{{28 - 22}}{{22 ⋅ 28}} + \frac{{34 - 28}}{{28 ⋅ 34}}} \right]\)

\( ⇒ S = \frac{1}{6} \times \left[ {\frac{1}{4} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{16}} + \ldots + \frac{1}{{28}} - \frac{1}{{34}}} \right]\)

उपरोक्त समीकरण को और सरल बनाने पर हम प्राप्त करते हैं,

⇒ S = 1/6 × [1/4 - 1/34] = 5/136

संकल्पना:

ex का विस्तार:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}+ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

गणना:

\(\rm e^{x} = 1+ \dfrac{x}{1!}++ \dfrac{x^2}{2!}+ \dfrac{x^3}{3!}+ \dfrac{x^4}{4!}+ .....\)

x = 1 रखने पर,

\( \rm 1+ \dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!}+ \dfrac{1}{3!}+ \dfrac{1}{4!}+ .....=e\)

अवधारणा:

समान्तर-ज्यामितीय श्रेणी (AGP):

• एक समान्तर-ज्यामितीय श्रेणी के पहले कुछ पद पहले पद a और सार्व अंतर d के साथ समान्तर श्रेणी से और पहले पद b और सार्व अनुपात r के साथ एक ज्यामितीय श्रेणी से बने हैं जिसे इसके द्वारा दिया जाता है:

  ab, (a + d)br, (a + 2d)br2, ... [a + (n - 1)d]brn - 1, ...

• एक AGP के अनंत का योग, जिसका |r| ≤ 1, निम्न द्वारा दिया गया है:

  S∞ = \(\rm{ab\over1\ -\ r}\ +\ {dbr\over(1\ -\ r)^2}\)

गणना:

दी गई श्रृंखला \({1\over2}+{3\over4}+{5\over8}+\ ...\infty\) एक AGP है जिसमें

a = 1, d = 2 और b = \(1\over2\) , r = \(1\over2\)।

S∞ = \(\rm{1\left(1\over2\right)\over1-{1\over2}}+{(2)\left(1\over2\right)\left(1\over2\right)\over\left(1-{1\over2}\right)^2}\)

⇒ S∞  = 1 + \({1\over2}\over{1\over4}\)

⇒ S∞  = 1 + 2

⇒ S∞  = 3.

अवधारणा:

यदि a₁, a₂, …., a_n,  AP में है तो- \({S_n} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} = \frac{n}{2} \times \left( {2a + \left( {n - 1} \right)d} \right)\) 

जहाँ a प्रथम पद एवं d सार्व अंतर है।

यदि a₁, a₂, …, a_n , AP में है तब व्यापक पद होगा: a_n = a + (n - 1) × d

जहाँ a प्रथम पद एवं d सार्व अंतर है।

गणना:

यहाँ हमे 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 का मान ज्ञात करना है।

⇒ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 = (1 + 3 + …… + 101) - (2 + 4 + ….. + 100)

जैसा कि हम देख सकते है (1, 3, ……, 101), AP में है जिसमे a = 1 और d = 2.

⇒ a_n = 101 = 1 + (n - 1) × 2

⇒ n = 51

\(\Rightarrow {S_{51}} = 1 + 3 + \ldots + 101 = \frac{{51}}{2} \times \left( {2 + 50 \times 2} \right) = 2601\)

इसी प्रकार, (2, 4, …, 100) , AP में है जिसमे  a = 2 और d = 2

⇒ a_n = 100 = 2 + (n - 1) × 2

⇒ n = 50

\(\Rightarrow {S_{50}} = 2 + 4 + \ldots + 100 = \frac{{50}}{2} \times \left( {4 + 49 \times 2} \right) = 2550\)

⇒ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ______ + 101 = (1 + 3 + …… + 101) - (2 + 4 + ….. + 100) = 2601 - 2550 = 51.

संकल्पना:

1 से n तक के क्रमागत संख्याओं का योग:

\( \rm 1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\)

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 20 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm \sqrt{5}+ \sqrt{20}+\sqrt{45}+\sqrt{80}+\ ...\)

\(\rm =\sqrt{5}+ 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+\ ...\ +20\sqrt5\)

\(\rm =\sqrt5(1+2+\ ...\ +20)\)

\(\rm =\sqrt5\times \dfrac{20\times21}{2}=210\sqrt5\)

प्रयुक्त सूत्र:

n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ....... × 3 × 2 × 1

गणना:

an = n (n)!

an = (n + 1 - n)n!

an = (n + 1)n! - n!

an = (n + 1)! - n!

Hence

a1 = 2! - 1! 

a2 = 3! - 2! 

----------------

a10 = 11! - 10!

अब,

 a1 + a2 + a3 +...+ a10 

2! - 1! + 3! - 2! + ......11! - 10! 

= 11! - 1

∴ a 1 + a 2 + a 3 +...+ a 10 का मान 11! - 1 है।

संकल्पना:​

• 12 + 22 + 32 + ..... + n2 = \(\rm \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

गणना:

यहाँ हमें श्रृंखला 2 + 8 + 18 + 32 + 50 +......+ 200 का योग ज्ञात करना है। 

दी गयी श्रृंखला को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है:  2(12 + 22 + 32 + ..... + 102)

चूँकि हम जानते हैं कि, 12 + 22 + 32 + ..... + n2 = \(\rm \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

अतः विकल्प 1 सही उत्तर है। 

संकल्पना:

1 से n तक क्रमागत संख्याओं का योग:

\(\rm1 + 2 + 3 +\ ...\ + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\).

गणना:

दी गयी श्रृंखला में पहले 18 पदों के योग को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

3 + 6 + 9 + 12 + 15, ....... 

⇒ 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....)

⇒ \(\frac{3 \times 18 \times 19}{2} = 513\)