Inner Product Spaces, Orthonormal Basis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inner Product Spaces, Orthonormal Basis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 21, 2025
Latest Inner Product Spaces, Orthonormal Basis MCQ Objective Questions
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 1:
मान लीजिए कि ℝ7 पर ⟨·, ·⟩ मानक आंतरिक गुणनफल को दर्शाता है। मान लीजिए कि Σ = {v1, . . ., v5} ⊆ ℝ7 इकाई सदिशों का एक समुच्चय है, जिसके लिए सभी 1 ≤ i ≠ j ≤ 5 के लिए ⟨vi, vj⟩ एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है। N(Σ) को ऐसे युग्मों (r, s), 1 ≤ r, s ≤ 5 की संख्या के रूप में परिभाषित करें, जिनके लिए ⟨vr, vs⟩ ≠ 0 है। N(Σ) का अधिकतम संभव मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
हमारे पास इकाई सदिशों का एक समुच्चय
विभिन्न सदिशों
जिसका अर्थ है कि यह 0 या कोई ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है।
हमें N(
चूँकि 5 सदिश हैं, इसलिए
N(
1. ऋणात्मक पूर्णांक नहीं शर्त: प्रत्येक आंतरिक गुणनफल
2. इकाई सदिश शर्त: प्रत्येक सदिश
चूँकि हम शून्येतर आंतरिक गुणनफलों की गणना को अधिकतम कर रहे हैं, इसलिए हम चाहते हैं कि यथासंभव अधिक युग्मों में
ऋणात्मक आंतरिक गुणनफल हो, जबकि दी गई शर्तों को पूरा किया जाए।
कम से कम i और j के एक विकल्प के लिए,
इसलिए N(
इसलिए विकल्प 1) सही है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 2:
निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
आंतरिक गुणनफल समष्टि में मानक: एक आंतरिक गुणनफल समष्टि में एक सदिश u का मानक ∣∣u∣∣ = √⟨u, u⟩ के रूप में परिभाषित किया जाता है, केवल ⟨u, u⟩ नहीं।
लंबकोणता: दो सदिश u और v लंबकोणीय होते हैं यदि उनका आंतरिक गुणनफल ⟨u, v⟩ = 0 होता है। इसका रैखिक संयोजन में उनके मानकों पर प्रभाव पड़ता है।
पाइथागोरस प्रमेय: आंतरिक गुणनफल समष्टि के संदर्भ में, यदि u और v लंबकोणीय हैं, तो ∣∣u + v∣∣2 = ∣∣u∣∣2 + ∣∣v∣∣2
कथन 1:
एक आंतरिक गुणनफल समष्टि में, एक सदिश का मानक ⟨u, u⟩ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह कथन गलत है क्योंकि एक सदिश u का मानक स्वयं के साथ सदिश के आंतरिक गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
औपचारिक रूप से, ∣∣u∣∣ = √⟨u, u⟩
कथन 1 गलत है।
कथन 2:
कथन: यदि ⟨u, v⟩ = 0, तो ∣∣u + v∣∣ ≥ ∣∣v∣∣
दिया गया है ⟨u, v⟩ = 0, सदिश u और v लंबकोणीय हैं।
आंतरिक गुणनफल समष्टि में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: ∣∣u + v∣∣2 = ⟨u + v, u + v⟩ = ⟨u, u⟩ + 2⟨u, v⟩ + ⟨v, v⟩ = ∣∣u∣∣2 + ∣∣v∣∣2।
इस प्रकार, ∣∣u + v∣∣2 = ∣∣u∣∣2 + ∣∣v∣∣2
चूँकि ∣∣u∣∣2 ≥ 0, हमारे पास ∣∣u + v∣∣ ≥ ∣∣v∣∣ है,
कथन 2 सही है।
कथन 3:
यदि या तो u = 0 या v = 0, तो ⟨u, v⟩ = 0
यह आंतरिक गुणनफलों के गुणों से सही है।
यदि कोई भी सदिश शून्य सदिश है, तो आंतरिक गुणनफल ⟨u, v⟩ शून्य होगा क्योंकि शून्य सदिश प्रत्येक सदिश के लिए लंबकोणीय है, जिसमें स्वयं भी शामिल है।
कथन 3 सही है।
कथन 4:
कथन: युग्म {u, v} की लंबकोणता के लिए एक पर्याप्त शर्त ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣ है।
यदि ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है: ⟨u + v, u + v⟩ = ⟨v - u, v - u⟩।
यह सरल हो जाता है: ⟨u, u⟩ + 2⟨u, v⟩ + ⟨v, v⟩ = ⟨v, v⟩ - 2⟨u, v⟩ + ⟨u, u⟩
समान पदों को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2⟨u, v⟩ = -2⟨u, v⟩
इसलिए, 4⟨u, v⟩ = 0 ⟹ ⟨u, v⟩ = 0
यह दर्शाता है कि यदि ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣, तो u और v लंबकोणीय हैं।
कथन 4 सही है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 3:
मान लीजिये ℝn, n ≥ 2, मानक आंतरिक गुणन से सुसज्जित है। मान लीजिए (v1, v2, ..., vn) ℝn का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने वाले n स्तंभ सदिश हैं। मान लीजिए A, n × n आव्यूह है, जो स्तंभ सदिशों v1, ... vn द्वारा निर्मित है। तब -
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 3 Detailed Solution
अवधारणा:
एक वर्ग आव्यूह A को एक लांबिक आव्यूह कहा जाता है, यदि AT = A-1
व्याख्या:
(v1, v2, ..., vn) ℝn का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने वाले n स्तंभ सदिश हैं।
A, n x n आव्यूह है, जो स्तंभ सदिशों v1, ... vn द्वारा निर्मित है।
अर्थात, A ऑर्थोनॉर्मल सदिशों द्वारा निर्मित है।
इसलिए A लांबिक है।
AT = A-1
विकल्प (3) सही है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 4:
ℝ पर V को चर t के अधिकतम 2 घातों (degree) वाले बहुपदों की सदिश समष्टि मानें। आंतर गुणनफल V पर निम्न प्रकार परिभाषित है
जहां f, g ∈ V. यह मान लें कि W = span {1 - t2,1 + t2} तथा V में W का लांबिक पूरक
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 4 Detailed Solution
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 5:
मान लीजिए ⟨., .⟩ : ℝn x ℝn → ℝ, सदिश समष्टि ℝn पर एक आंतरिक गुणनफल है।
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए:
P: |⟨u, v⟩| ≤
Q: यदि ⟨u, v⟩ = ⟨2u, -v⟩ सभी v ∈ ℝn के लिए, तब u = 0
तब
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
कॉशी श्वार्ज असमिका से, हम जानते हैं कि || ≤ ||u|| ||v|| ...... (i) ,v>
व्याख्या:
दिया गया है ⟨., .⟩ : ℝn x ℝn → ℝ, सदिश समष्टि ℝn पर एक आंतरिक गुणनफल है।
अब, ||u||2 = ,u>
∴
अब, √ ||u||2 + ||v||2 ≤
समीकरण (i), (iv) और (v) से हमें प्राप्त होता है
|⟨u, v⟩| ≤
⇒ कथन P सत्य है।
अब, मान लीजिए, u = (x1,y1), v = (x2,y2)
∴ = 1x2+y1y2> ...... (vi),v>
दिया गया है, = ,v>
= 1x2-2y1y2> ..... (vii)
अब, समीकरण (vi) और (vii) से, हमें प्राप्त होता है
x1x2+y1y2 = -2x1x2-2y1y2
⇒ 3x1x2+3y1y2 = 0
⇒ x1x2+y1y2 = 0
अर्थात u,v लंबवत सदिश हैं और ∀ v ∈ ℝn , u शून्य होना चाहिए।
⇒ कथन Q सत्य है।
अतः विकल्प (1) सत्य है।
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मानें कि किसी निश्चित n ≥ 2 के लिए ℝn में x = (x1, …, xn) तथा y = (y1, …, yn) दो सदिशों को निरूपित करते हैं। निम्न में से कौन-सा ℝn पर आंतरिक गुणन (inner product) परिभाषित करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि,>
(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए,>,>
व्याख्या:
x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn
n = 2 के लिए
(1) ⟨x, y⟩ =
इसलिए, A =
यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (1) असत्य है
(4) ⟨x, y⟩ =xj yn−j+1= x1y2 + x2y1
इसलिए, A =
यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (4) असत्य है
(2)
⟨x, y⟩ =
=
=
x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें
तब = 2(2)2 + 2 (2)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 = 20
लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16,y>
इस प्रकार ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है। ,y>,y>
विकल्प (2) असत्य है।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
यदि a, b ∈
p(x, y) = a2x1 y1 + abx2y1 + abx1y2 + b2x2y2, x =(x1, x2), y = (y1, y2) ∈
तब a तथा b के किन मानों के लिए, p ∶
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFInner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 8:
मानें कि n > 1 एक नियत प्राकृतिक संख्या है। निम्न में से कौन n × n वास्तविक सममित आव्यूहों की सदिश समष्टि पर आंतर गुणनफल है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 8 Detailed Solution
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 9:
मान लीजिए कि W आव्यूह के स्तंभ समष्टि है,
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 9 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिए w1 =
तब u का W पर लांबिक प्रक्षेपण है
=
=
(2) सही है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 10:
मान लीजिए P एक 2 × 2 वास्तविक लांबिक आव्यूह है और
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
P एक 2 x 2 वास्तविक लांबिक आव्यूह है।
इसलिए PTP = I
मान लीजिए PTP =
इसलिए PTP = I ⇒
⇒
⇒ a2 + c2 = 1, ab + cd = 0, b2 + d2 = 1
=
=
इसलिए
विकल्प (2) सही है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 11:
आव्यूह A ∈ Mn(
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 11 Detailed Solution
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 12:
निम्नलिखित में से कौन - सा [0, 1] पर सभी वास्तविक मान संतत फलन के सदिश समष्टि पर आंतर गुणनफलन है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 12 Detailed Solution
An inner product on V is a function which satisfies the following conditions,
(1) 1 + x2, y> = 1, y> + 2, y>
(ii) = ⊂
(iii) =
(iv) = 0 ⇔ α = 0 and > 0 if α ≠ 0
opt (1)
Take C = -1 then
= =
& c = - =
⇒ ≠ c
So, = is not Inner Product.
Opt (1) - False
opt (2) Take C = -1 then
= =
=
& C = - =
⇒ ≠ c
So, = is not Inner Product.
Opt (2) - False
opt (3) Let f(x) = x(x - 1)
then = f(0) f(0) + f(1)f(1)
= 0 + 0 = 0
but f(x) ≠ 0
so, = f(0) g(0) + f(1)g(1) is not inner product - opt (3) False
opt (4)
=
then
(1) 1 + f2, g> =
= 1, g> + 2, g>
(ii) = = = c
(iii)
(iv) = = ≥ 0
and
and
So, = satisfy all the properties
⇒ is an inner product
opt (4) correct
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 13:
मानें कि किसी निश्चित n ≥ 2 के लिए ℝn में x = (x1, …, xn) तथा y = (y1, …, yn) दो सदिशों को निरूपित करते हैं। निम्न में से कौन-सा ℝn पर आंतरिक गुणन (inner product) परिभाषित करता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 13 Detailed Solution
संकल्पना:
(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि,>
(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए,>,>
व्याख्या:
x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn
n = 2 के लिए
(1) ⟨x, y⟩ =
इसलिए, A =
यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (1) असत्य है
(4) ⟨x, y⟩ =xj yn−j+1= x1y2 + x2y1
इसलिए, A =
यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1
इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।
विकल्प (4) असत्य है
(2)
⟨x, y⟩ =
=
=
x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें
तब = 2(2)2 + 2 (2)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 = 20
लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16,y>
इस प्रकार ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है। ,y>,y>
विकल्प (2) असत्य है।
इसलिए विकल्प (3) सत्य है।
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 14:
ℝ पर V को चर t के अधिकतम 2 घातों (degree) वाले बहुपदों की सदिश समष्टि मानें। आंतर गुणनफल V पर निम्न प्रकार परिभाषित है
जहां f, g ∈ V. यह मान लें कि W = span {1 - t2,1 + t2} तथा V में W का लांबिक पूरक
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 14 Detailed Solution
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 15:
माना A,B, n × n के आव्यूह हैं। निम्नलिखित में से कौन सा ट्रेस(A2B2) के बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Inner Product Spaces, Orthonormal Basis Question 15 Detailed Solution
दिया गया है - माना A,B, n × n के आव्यूह हैं।
अवधारणा - किसी आव्यूह A का ट्रेस उस आव्यूह के विकर्ण के सभी अवयवों के योग के बराबर होता है।
स्पष्टीकरण -
हम जानते है कि, ट्रेस (AB) = ट्रेस (BA)
अब ट्रेस(A2B2) = ट्रेस(AABB)
= ट्रेस(ABAB)
= ट्रेस(ABBA)
= ट्रेस(AB2A)
या
अब, ट्रेस(A2B2) = ट्रेस(AABB)
= ट्रेस(ABAB)
= ट्रेस(BAAB)
= ट्रेस(BA2B)
अतः, विकल्प (2) सही है।