Inner Product Spaces, Orthonormal Basis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inner Product Spaces, Orthonormal Basis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हमारे पास इकाई सदिशों का एक समुच्चय \(\Sigma = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\} \subset \mathbb{R}^7\) है।

विभिन्न सदिशों \(v_i\) और \(v_j\) (जहाँ i \(\neq\) j) के प्रत्येक युग्म के लिए, आंतरिक गुणनफल \(\langle v_i, v_j \rangle\) एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है,

जिसका अर्थ है कि यह 0 या कोई ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है।

हमें N(\(\Sigma\)) को अधिकतम करना है, जिसे \(1 \leq r < s \leq 5\) वाले युग्मों (r, s) की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनके लिए \(\langle v_r, v_s \rangle \neq 0\) है।

चूँकि 5 सदिश हैं, इसलिए \(1 \leq r < s \leq 5\) वाले अद्वितीय युग्मों (r, s) की कुल संख्या है

\(\binom{5}{2} = 10\)

N(\(\Sigma\)) को अधिकतम करने के लिए, हम चाहते हैं कि यथासंभव अधिक युग्मों में \(\langle v_r, v_s \rangle \neq 0\) हो।

1. ऋणात्मक पूर्णांक नहीं शर्त: प्रत्येक आंतरिक गुणनफल \(\langle v_i, v_j \rangle\) (i \(\neq\)j के लिए) एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह 0 या कोई ऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है।

2. इकाई सदिश शर्त: प्रत्येक सदिश \(v_i\) एक इकाई सदिश है, जिसका अर्थ है \(\langle v_i, v_j \rangle\)= 1 .

चूँकि हम शून्येतर आंतरिक गुणनफलों की गणना को अधिकतम कर रहे हैं, इसलिए हम चाहते हैं कि यथासंभव अधिक युग्मों में

ऋणात्मक आंतरिक गुणनफल हो, जबकि दी गई शर्तों को पूरा किया जाए।

कम से कम i और j के एक विकल्प के लिए, \(\langle v_i, v_j \rangle\) =0

इसलिए N(\(\Sigma\)) का आवश्यक अधिकतम मान = 9 है।

इसलिए विकल्प 1) सही है।

प्रयुक्त अवधारणा:

आंतरिक गुणनफल समष्टि में मानक: एक आंतरिक गुणनफल समष्टि में एक सदिश u का मानक ∣∣u∣∣ = √〈u, u〉 के रूप में परिभाषित किया जाता है, केवल 〈u, u〉 नहीं।

लंबकोणता: दो सदिश u और v लंबकोणीय होते हैं यदि उनका आंतरिक गुणनफल 〈u, v〉 = 0 होता है। इसका रैखिक संयोजन में उनके मानकों पर प्रभाव पड़ता है।

पाइथागोरस प्रमेय: आंतरिक गुणनफल समष्टि के संदर्भ में, यदि u और v लंबकोणीय हैं, तो ∣∣u + v∣∣² = ∣∣u∣∣² + ∣∣v∣∣²

कथन 1:

एक आंतरिक गुणनफल समष्टि में, एक सदिश का मानक 〈u, u〉 के रूप में परिभाषित किया जाता है।

यह कथन गलत है क्योंकि एक सदिश u का मानक स्वयं के साथ सदिश के आंतरिक गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

औपचारिक रूप से, ∣∣u∣∣ = √〈u, u〉

कथन 1 गलत है।

कथन 2:
कथन: यदि 〈u, v〉 = 0, तो ∣∣u + v∣∣ ≥ ∣∣v∣∣

दिया गया है 〈u, v〉 = 0, सदिश u और v लंबकोणीय हैं।

आंतरिक गुणनफल समष्टि में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: ∣∣u + v∣∣² = 〈u + v, u + v〉 = 〈u, u〉 + 2〈u, v〉 + 〈v, v〉 = ∣∣u∣∣² + ∣∣v∣∣²।

इस प्रकार, ∣∣u + v∣∣² = ∣∣u∣∣² + ∣∣v∣∣²

चूँकि ∣∣u∣∣² ≥ 0, हमारे पास ∣∣u + v∣∣ ≥ ∣∣v∣∣ है,

कथन 2 सही है।

कथन 3:

यदि या तो u = 0 या v = 0, तो 〈u, v〉 = 0

यह आंतरिक गुणनफलों के गुणों से सही है।

यदि कोई भी सदिश शून्य सदिश है, तो आंतरिक गुणनफल 〈u, v〉 शून्य होगा क्योंकि शून्य सदिश प्रत्येक सदिश के लिए लंबकोणीय है, जिसमें स्वयं भी शामिल है।

कथन 3 सही है।

कथन 4:

कथन: युग्म {u, v} की लंबकोणता के लिए एक पर्याप्त शर्त ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣ है।

यदि ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है: 〈u + v, u + v〉 = 〈v - u, v - u〉।

यह सरल हो जाता है: 〈u, u〉 + 2〈u, v〉 + 〈v, v〉 = 〈v, v〉 - 2〈u, v〉 + 〈u, u〉

समान पदों को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2〈u, v〉 = -2〈u, v〉

इसलिए, 4〈u, v〉 = 0 ⟹ 〈u, v〉 = 0

यह दर्शाता है कि यदि ∣∣u + v∣∣ = ∣∣v - u∣∣, तो u और v लंबकोणीय हैं।

कथन 4 सही है।

अवधारणा:

एक वर्ग आव्यूह A को एक लांबिक आव्यूह कहा जाता है, यदि AT = A-1

व्याख्या:

(v1, v2, ..., vn) ℝn का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाने वाले n स्तंभ सदिश हैं।

A, n x n आव्यूह है, जो स्तंभ सदिशों v1, ... vn द्वारा निर्मित है।

अर्थात, A ऑर्थोनॉर्मल सदिशों द्वारा निर्मित है।

इसलिए A लांबिक है।

AT = A-1

विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

कॉशी श्वार्ज असमिका से, हम जानते हैं कि || ≤ ||u|| ||v|| ...... (i)

व्याख्या:

दिया गया है 〈., .〉 : ℝn x ℝn → ℝ, सदिश समष्टि ℝn पर एक आंतरिक गुणनफल है।

अब, ||u||² =

∴ \(\frac{1}{2}\) ( + ) = \(\frac{1}{2}\)(||u||2 + ||v||2) ..... (iv)

अब, √ ||u||² + ||v||2 ≤ \(\frac{1}{2}\) (||u||2 + ||v||2) ..... (v)

समीकरण (i), (iv) और (v) से हमें प्राप्त होता है

|〈u, v〉| ≤ \(\frac{1}{2}\); (〈u, u〉 + 〈v, v〉)

⇒ कथन P सत्य है।

अब, मान लीजिए, u = (x₁,y₁), v = (x2,y2)

∴ = 1x₂+y₁y₂> ...... (vi)

दिया गया है, = <2u, -v>

= <-2x1x2-2y1y2> ..... (vii)

अब, समीकरण (vi) और (vii) से, हमें प्राप्त होता है

x1x2+y1y2 = -2x1x2-2y1y2

⇒ 3x1x2+3y1y2 = 0

⇒ x1x2+y1y2 = 0

अर्थात u,v लंबवत सदिश हैं और ∀ v ∈ ℝⁿ , u शून्य होना चाहिए।

⇒ कथन Q सत्य है।

अतः विकल्प (1) सत्य है। 

संकल्पना:

(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि

(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए

व्याख्या:

x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn

n = 2 के लिए

(1) 〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^2\) xiyj = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)

यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (1) असत्य है

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1 < 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (4) असत्य है

(2)

〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^n\left(x_i^2+y_j^2\right)\)

= \((x_1^2 + y_1^2)+(x_1^2+y_2^2) + (x_2^2+y_1^2) + (x_2^2+y_2^2) \)

= \(2x_1^2 + 2y_1^2+2x_2^2+2y_2^2\)

x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें

तब <2x,y> = 2(2)² + 2 (2)² + 2 (1)² + 2(1)² = 20

लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16

इस प्रकार <2x,y> ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।

व्याख्या:

\(X=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]\)

मान लीजिए w₁ = \(\left[\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\) और w2 = \(\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]\) और u = \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

तब u का W पर लांबिक प्रक्षेपण है

\(\frac{}{}\) w1 + \(\frac{}{}\)w2

= \(\frac13\)\(\left[\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\)+ \(\frac26\)\(\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]\) = \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

= \(\frac13\)\(\left[\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\)+ \(\frac13\)\(\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]\) = \(\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

(2) सही है। 

व्याख्या:

P एक 2 x 2 वास्तविक लांबिक आव्यूह है।

इसलिए PTP = I

मान लीजिए PTP = \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

इसलिए PTP = I ⇒ \(\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}a^2+c^2&ab+cd\\ab+cd&b^2+d^2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

⇒ a² + c² = 1, ab + cd = 0, b2 + d2 = 1

\(P \vec{x}\) = \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}ax_1+bx_2\\cx_1+dx_2\end{bmatrix}\)

\(\|P \vec{x}\|\) = \(\sqrt{(ax_1+bx_2)^2+(cx_1+dx_2)^2}\)

= \(\sqrt{(a^2+c^2)x_1^2+(b^2+d^2)x_2^2+2(ab+cd)x_1x_2}\)

= \(\sqrt{x_1^2+x_2^2}\) (मानों का उपयोग करने पर,)

इसलिए \(\|P \vec{x}\| =\|\vec{x}\|\)

विकल्प (2) सही है। 

An inner product on V is a function which satisfies the following conditions,

(1) 1 + x₂, y> = 1, y> + 2, y>

(ii) = ⊂

(iii) <β, α> = \(\overline{<α, \beta>}\)

(iv) < α, α> = 0 ⇔ α = 0 and <α, α> > 0 if α ≠ 0

opt (1)

Take C = -1 then 

= <-f, g> = \(\left| \int_0^1 -f(t) g(t) dt \right| = \left| \int_0^1 f(t) g(t) dt \right| \)

& c = - = \(-\left| \int_0^1 f(t) g(t) dt \right| \)

⇒  ≠ c

So, = \(\left| \int_0^1 f(t) g(t) dt \right| \) is not Inner Product.

Opt (1) - False

opt (2) Take C = -1 then

<(f, g> = <-f, g> = \(\int_0^1\left| -f(t) g(t) dt \right| \)

= \(\int_0^1\left| f(t) g(t) \right| dt\)

& C = - = \(-\int_0^1\left| f(t) g(t) \right| dt\)

⇒  ≠ c

So, = \(\int_0^1\left| f(t) g(t) \right| dt\) is not Inner Product.

Opt (2) - False

opt (3) Let f(x) = x(x - 1)

then = f(0) f(0) + f(1)f(1)

= 0 + 0 = 0

but f(x) ≠ 0

so, = f(0) g(0) + f(1)g(1) is not inner product - opt (3) False

opt (4)

= \(\int_0^1 f(t) g(t) dt\)

then

(1) 1 + f₂, g> = \(\int_0^1 (f_1(t) + f_2(t)g(t)dt\)

\(= \int_0^1 (f_1(t) g(t)dt + \int_0^1 (f_2(t) g(t)dt\)

= 1, g> + 2, g>

(ii) = \(\int_0^1 cf(t) g(t)dt \) = \(c\int_0^1 f(t) g(t)dt \) = c

(iii) = \(​​\int_0^1 g(t) f(t) dt \) = \(​​\int_0^1 f(t) g(t) dt \) =

(iv) = \(​​\int_0^1 f(t) g(t) dt \) = \(​​\int_0^1 (f(t)) ^2dt \) ≥ 0

and \(​​\int_0^1 (f(t)) ^2dt \) = 0 ⇔ f = 0

and \(​​\int_0^1 (f(t)) ^2dt \) > 0 if f ≠ 0

So, = \(​​\int_0^1 f(t) g(t) dt \) satisfy all the properties

⇒ is an inner product

opt (4) correct

संकल्पना:

(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि

(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए

व्याख्या:

x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn

n = 2 के लिए

(1) 〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^2\) xiyj = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)

यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (1) असत्य है

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1 < 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (4) असत्य है

(2)

〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^n\left(x_i^2+y_j^2\right)\)

= \((x_1^2 + y_1^2)+(x_1^2+y_2^2) + (x_2^2+y_1^2) + (x_2^2+y_2^2) \)

= \(2x_1^2 + 2y_1^2+2x_2^2+2y_2^2\)

x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें

तब <2x,y> = 2(2)² + 2 (2)² + 2 (1)² + 2(1)² = 20

लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16

इस प्रकार <2x,y> ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।

दिया गया है - माना A,B, n × n के आव्यूह हैं।

अवधारणा -  किसी आव्यूह A का ट्रेस उस आव्यूह के विकर्ण के सभी अवयवों के योग के बराबर होता है।

स्पष्टीकरण - 

हम जानते है कि, ट्रेस (AB) = ट्रेस (BA)

अब ट्रेस(A2B2) = ट्रेस(AABB)

= ट्रेस(ABAB)

= ट्रेस(ABBA)

= ट्रेस(AB2A)

या  

अब, ट्रेस(A2B2) = ट्रेस(AABB)

= ट्रेस(ABAB)

= ट्रेस(BAAB)

= ट्रेस(BA2B)

अतः, विकल्प (2) सही है।