General Solution of Higher Order PDE MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for General Solution of Higher Order PDE - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

\(\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {x^n}}} + {k_1}\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {x^{n - 1}}\partial y}} + \ldots + {k_n}\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {y^n}}} = F\left( {x,y} \right)\) रूप का एक समीकरण जिसमें k नियत हैं, उन्हें n^वें कोटि का नियत गुणांकों वाला समघात रैखिक PDE कहा जाता है।

लिखने पर, \(\frac{{{\partial ^r}}}{{\partial {x^r}}} = {D^r}\;and\frac{{{\partial ^r}}}{{\partial {y^r}}} = {D^{'r}}\)

उपरोक्त समीकरण निम्न प्रकार बन जाता है

(Dⁿ + k₁D^n-1D’^r+ … + k_n D’^r) z = F(x, y)

समीकरण \(\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} + {k_1}\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\;\partial y}} + {k_2}\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 0\) पर विचार करें

इसका प्रतीकात्मक रूप (D² + k₁ DD’ + k₂ D’²)z = 0 है

D² + k₁ DD’ + k₂ D’² = 0 सहायक समीकरण कहलाता है, मान लीजिए इसका मूल D/D' = m1, m2 है।

यदि मूल वास्तविक और भिन्न हैं, तो पूर्ण हल निम्न प्रकार दिया जाता है

z = f(y + m₁x) + ϕ(y + m₂x);

गणना:

दी गई समीकरण \(2\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} + 5\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\;\partial y}} + 3\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 0\) है

प्रतीकात्मक रूप में, (2D² + 5DD’ + 3D’²)z = 0

इसकी सहायक समीकरण निम्न है 2m² + 5m + 3 = 0, जहां m = D/D’

हल करने पर ⇒ m = - 1, - 3/2;

यहां पूरा हल निम्न होगा z = f(y – x) + ϕ(y – (3x/2))

जिसे निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

z = f(y – x) + ϕ(2y - 3x)

अवधारणा:

यदि आंशिक अवकल समीकरण दो चर x और y में द्वितीय कोटि का है, तब यह Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F=0, जहाँ A,B,C,D,E, और F; x तथा y के फलन है, का रूप में होना चाहिए।

अब, विविक्तकर की जांच करने पर,

यदि B2- 4AC>0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलीय होगा

यदि  B2- 4AC=0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलीय होगा

यदि B2- 4AC<0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्तीय होगा

स्पष्टीकरण:

x2(y - 1) uxx - x(y2 - 1) uxy + y(y - 1) uyy + 4x = 0

यहाँ, A= x2(y - 1), B=  - x(y2 - 1), C=y(y - 1)

अब, B2- 4AC= x²(y2 - 1)²-4(x2(y - 1))y(y - 1)

⇒ x²(y-1)²[(y+1)²-4y]

⇒ x²(y-1)⁴>0, y-अक्ष और y=1 को छोड़कर सम्पूर्ण x - y समतल में अतिपरवलीय है

अत:, (2) सत्य है

संप्रत्यय:

डुहैमल का सिद्धांत:

इस रूप के आंशिक अवकल समीकरण का हल \(\rm \frac{\partial^2 u}{\partial t ^2}- \frac{\partial^2 u}{\partial x ^2}=f(x,t)\) - ∞ < x < ∞, t > 0,

u(x, 0) = \(\rm \frac{\partial u}{\partial t}\)(x, 0) = 0, −∞ < x < ∞ है

u(x, t) = \(\int_0^t v(x, t-s, s)ds\) जहाँ v आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है

\(\rm \frac{\partial^2 v}{\partial t ^2}- \frac{\partial^2 v}{\partial x ^2}=0\) - ∞ < x < ∞

v(x, 0, s) = 0, \(\rm \frac{\partial v}{\partial t}\)(x, 0) = f(x, s),, −∞ < x < ∞

और इस तरंग समीकरण का हल है

v(x, t) = \(\frac12\)[g(x + ct) + g(x -ct)] + \(\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f(x, s)dx\)

डेलम्बर्ट सूत्र द्वारा

व्याख्या:

यहाँ f(x) = 0 और g(x, s) = xs और c = 1

इसलिए v(x, t) = \(0+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}xsds\)

\(=\frac{s}{4}[x^2]_{x-t}^{x+t}=xts\)

इसलिए u(x, t) = \(\int_0^t v(x, t-s, s)ds\)

\(=\int_0^t x(t-s)sds\\=x\int_0^t(ts-s^2)ds\\=x[\frac{ts^2}{2}-\frac{s^3}{3}]_0^t\\=x[\frac{t^3}{2}-\frac{t^3}{3}]\\=\frac{xt^3}{6}\)

इसलिए u(2, 3) = (2x 27) / 6 = 9

विकल्प (1) सही है

अवधारणा:

यदि आंशिक अवकल समीकरण दो चर x और y में द्वितीय कोटि का है, तब यह Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+F=0, जहाँ A,B,C,D,E, और F; x तथा y के फलन है, का रूप में होना चाहिए।

अब, विविक्तकर की जांच करने पर,

यदि B2- 4AC>0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलीय होगा

यदि  B2- 4AC=0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलीय होगा

यदि B2- 4AC<0 है, तब आंशिक अवकल समीकरण दीर्घवृत्तीय होगा

स्पष्टीकरण:

x2(y - 1) uxx - x(y2 - 1) uxy + y(y - 1) uyy + 4x = 0

यहाँ, A= x2(y - 1), B=  - x(y2 - 1), C=y(y - 1)

अब, B2- 4AC= x²(y2 - 1)²-4(x2(y - 1))y(y - 1)

⇒ x²(y-1)²[(y+1)²-4y]

⇒ x²(y-1)⁴>0, y-अक्ष और y=1 को छोड़कर सम्पूर्ण x - y समतल में अतिपरवलीय है

अत:, (2) सत्य है

संकल्पना:

\(\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {x^n}}} + {k_1}\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {x^{n - 1}}\partial y}} + \ldots + {k_n}\frac{{{\partial ^n}z}}{{\partial {y^n}}} = F\left( {x,y} \right)\) रूप का एक समीकरण जिसमें k नियत हैं, उन्हें n^वें कोटि का नियत गुणांकों वाला समघात रैखिक PDE कहा जाता है।

लिखने पर, \(\frac{{{\partial ^r}}}{{\partial {x^r}}} = {D^r}\;and\frac{{{\partial ^r}}}{{\partial {y^r}}} = {D^{'r}}\)

उपरोक्त समीकरण निम्न प्रकार बन जाता है

(Dⁿ + k₁D^n-1D’^r+ … + k_n D’^r) z = F(x, y)

समीकरण \(\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} + {k_1}\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\;\partial y}} + {k_2}\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 0\) पर विचार करें

इसका प्रतीकात्मक रूप (D² + k₁ DD’ + k₂ D’²)z = 0 है

D² + k₁ DD’ + k₂ D’² = 0 सहायक समीकरण कहलाता है, मान लीजिए इसका मूल D/D' = m1, m2 है।

यदि मूल वास्तविक और भिन्न हैं, तो पूर्ण हल निम्न प्रकार दिया जाता है

z = f(y + m₁x) + ϕ(y + m₂x);

गणना:

दी गई समीकरण \(2\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} + 5\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\;\partial y}} + 3\frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = 0\) है

प्रतीकात्मक रूप में, (2D² + 5DD’ + 3D’²)z = 0

इसकी सहायक समीकरण निम्न है 2m² + 5m + 3 = 0, जहां m = D/D’

हल करने पर ⇒ m = - 1, - 3/2;

यहां पूरा हल निम्न होगा z = f(y – x) + ϕ(y – (3x/2))

जिसे निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

z = f(y – x) + ϕ(2y - 3x)

संप्रत्यय:

डुहैमल का सिद्धांत:

इस रूप के आंशिक अवकल समीकरण का हल \(\rm \frac{\partial^2 u}{\partial t ^2}- \frac{\partial^2 u}{\partial x ^2}=f(x,t)\) - ∞ < x < ∞, t > 0,

u(x, 0) = \(\rm \frac{\partial u}{\partial t}\)(x, 0) = 0, −∞ < x < ∞ है

u(x, t) = \(\int_0^t v(x, t-s, s)ds\) जहाँ v आंशिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है

\(\rm \frac{\partial^2 v}{\partial t ^2}- \frac{\partial^2 v}{\partial x ^2}=0\) - ∞ < x < ∞

v(x, 0, s) = 0, \(\rm \frac{\partial v}{\partial t}\)(x, 0) = f(x, s),, −∞ < x < ∞

और इस तरंग समीकरण का हल है

v(x, t) = \(\frac12\)[g(x + ct) + g(x -ct)] + \(\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}f(x, s)dx\)

डेलम्बर्ट सूत्र द्वारा

व्याख्या:

यहाँ f(x) = 0 और g(x, s) = xs और c = 1

इसलिए v(x, t) = \(0+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}xsds\)

\(=\frac{s}{4}[x^2]_{x-t}^{x+t}=xts\)

इसलिए u(x, t) = \(\int_0^t v(x, t-s, s)ds\)

\(=\int_0^t x(t-s)sds\\=x\int_0^t(ts-s^2)ds\\=x[\frac{ts^2}{2}-\frac{s^3}{3}]_0^t\\=x[\frac{t^3}{2}-\frac{t^3}{3}]\\=\frac{xt^3}{6}\)

इसलिए u(2, 3) = (2x 27) / 6 = 9

विकल्प (1) सही है