Differentiation by taking log MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiation by taking log - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

गणना को सरल बनाने के लिए लॉग लें और अवकलन करें।

गणना:

दिया है:

x = 0 रखने पर,  = 1

प्रयुक्त सूत्र:

2. log m + log n = log mn
3. log mⁿ = n log m  

गणना:

दिया गया है कि, 

⇒ 

दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर

⇒ 

चूँकि,  है,

⇒ ln y = x ln 5 + ln C

लघुगणक गुण (2) और (3) का प्रयोग करने पर

⇒ ln y = ln 5^x + ln C

⇒ ln y = ln C5^x

⇒ y = C ×  5x          ------(1)

प्रश्नानुसार, y(0) = ln 5

ln 5 = C ×  5⁰ 

⇒ C = ln 5

समीकरण (1) में इस मान को रखने पर

⇒ y =  5x ln 5 

x = 1 रखने पर

∴ y(1) = 5 ln 5

अवधारणा:

गुणनफल नियम: 

गणना:

माना कि y = x^2x 

दोनों पक्षों पर लॉग लेते हुए हम प्राप्त करते हैं

log y = log( x2x ) = 2x logx                 

(∵ )

अब, अवकलज लेते हुए,

 = 2{  }

 = 2[log x + x. ]                       

(∵ )

⇒  = 2y [1 + log x]

⇒  = 2x2x [1 + log x]                     

(∵ y = x2x )

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

• xn = nxn-1
• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• ex = ex
• ln x = 
• (ax + b) = a
• tan x = sec2 x
• f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y = f(x) = x^x है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xx

ln y = x ln x              (log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

फिर से, x के संबंध में अवकलन करने पर, 

इसलिए  f''(x) = 

संकल्पना:

प्राचलिक रूप:

यदि f(x) और g(x), x में फलन है, तो

 =  

गणना:

माना कि z = x^{-ln x} है

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln z = ln x-ln x

ln z = - (ln x)²                       (∵ ln mⁿ = n ln m)

x के संबंध में अवकलन करने पर

 = -2 ln x

साथ ही y = 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln         

ln y = x² ln e               (∵ ln mn = n ln m)

ln y = x²                      (∵ ln e = 1)

x के संबंध में अवकलन करने पर

आवश्यक परिणाम निम्न है

 = 

= 

= 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ 
• गुणनफल नियम: 

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

x = 1 रखने पर 

                (∵ log 1 = 0)

संकल्पना:

• xn = nxn-1
• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• ex = ex
• ln x = 
• (ax + b) = a
• tan x = sec2 x
• f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y =  है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln 

ln y = e^x (ln x)                                 (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

संकल्पना:

log ( a + b ) = log a + log b

गणना:

 xm yn  = 2(x + y)m + n 

दोनों पक्षों पर लॉग लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log(xm yn) = log[2(x + y)m + n]

⇒ m log x + n log y = log 2 + (m + n) log (x + y)

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ + = [1 + ]

⇒ =

⇒ =

संकल्पना:

• xn = nxn-1
• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• ex = ex
• ln x = 
• (ax + b) = a
• tan x = sec2 x
• f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)​

गणना:

y = x^ln x 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xln x

ln y = (ln x)²                     (∵ log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

y' = 

y' =  

अवधारणा:

गुणनफल नियम: 

गणना:

माना कि y = x^2x 

दोनों पक्षों पर लॉग लेते हुए हम प्राप्त करते हैं

log y = log( x2x ) = 2x logx                 

(∵ )

अब, अवकलज लेते हुए,

 = 2{  }

 = 2[log x + x. ]                       

(∵ )

⇒  = 2y [1 + log x]

⇒  = 2x2x [1 + log x]                     

(∵ y = x2x )

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

1. log mn = log m + log n 
2. log mⁿ = n log m
3. खण्डशः अवकलन:

गणना:

दिया गया है कि

xyyx = 1

दोनों पक्षों पर log लेने पर,

log( xyyx) = log 1

चूँकि, log mn = log m + log n है।

⇒ log x^y +  log y^x = log 1

चूँकि log mn = n log m

⇒ y log x + x log y = 0        (∵ log 1 = 0)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

⇒ (y log x) +  (x log y) = 0 

खण्डशः अवकलन का उपयोग करने पर,

⇒ 

सूत्र (4) और (5) का प्रयोग करने पर,

⇒ 

⇒ 

⇒ 

उपरोक्त अवकलन में x = y = 1 रखने पर,

⇒ 

अतः (1, 1) पर , -1 के बराबर है।

प्रयुक्त सूत्र:

2. log m + log n = log mn
3. log mⁿ = n log m  

गणना:

दिया गया है कि, 

⇒ 

दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर

⇒ 

चूँकि,  है,

⇒ ln y = x ln 5 + ln C

लघुगणक गुण (2) और (3) का प्रयोग करने पर

⇒ ln y = ln 5^x + ln C

⇒ ln y = ln C5^x

⇒ y = C ×  5x          ------(1)

प्रश्नानुसार, y(0) = ln 5

ln 5 = C ×  5⁰ 

⇒ C = ln 5

समीकरण (1) में इस मान को रखने पर

⇒ y =  5x ln 5 

x = 1 रखने पर

∴ y(1) = 5 ln 5

संकल्पना:

• xn = nxn-1
• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• ex = ex
• ln x = 
• (ax + b) = a
• tan x = sec2 x
• f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y = f(x) = x^x है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xx

ln y = x ln x              (log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

फिर से, x के संबंध में अवकलन करने पर, 

इसलिए  f''(x) = 

प्रयुक्त सूत्र:

1. log mn = n log m
2. खण्डशः अवकलन:

गणना:

दिया गया है कि y = (xx)x,

दोनों पक्षों पर log लेने पर

log y = log (xx)x

सूत्र (1) का प्रयोग करने पर

⇒ log y = x log x^x

⇒ log y = x² log x

x के संबंध में अवकलन करने पर

(log y) = (x²log x)

सूत्र (2) में वर्णित खण्डशः अवकलन करने पर

⇒ 

चूँकि,  &  है, 

⇒ 

⇒        (∵ y = (xx)x)

उपरोक्त समीकरण में x = 1 रखने पर

⇒  = 1 + 2 × 1 log 1

⇒  = 1          (∵ log 1 = 0)

∴ x = 1 पर , 1 है।

संकल्पना:

• xn = nxn-1
• sin x = cos x
• cos x = -sin x
• ex = ex
• ln x = 
• (ax + b) = a
• tan x = sec2 x
• f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
•  sin-1 x = 
•  tan-1 x = 

गणना:

माना कि y = f(x) =  है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ ln y = ln 

ln y = tan^-1 x (ln x)                      (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

 = 

 = y × 

 = 

f'(x) =  = 

अब f'(1) = 

f'(1) =  या 45°