Damping Coefficient and Damping Ratio MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Damping Coefficient and Damping Ratio - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

समांतर में दो स्प्रिंगों वाले एक कम्पन तंत्र में, समतुल्य कठोरता व्यक्तिगत कठोरताओं का योग होती है।

कम्पन की प्राकृतिक आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{m}} \)

परिकलन:

दिया गया है:

द्रव्यमान, \( m = 10~kg \)

प्रत्येक स्प्रिंग की कठोरता, \( k_1 = k_2 = 2~N/mm = 2000~N/m \)

चूँकि स्प्रिंग समानांतर में हैं:

\( k_{eq} = k_1 + k_2 = 2000 + 2000 = 4000~N/m \)

अब, प्राकृतिक आवृत्ति के लिए सूत्र लागू करें:

\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4000}{10}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{400} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi}~Hz \)

संकल्पना:

मुक्त अवमंदित कंपन: \(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = 0\)

जहाँ m स्प्रिंग से निलंबित द्रव्यमान है, k स्प्रिंग की कठोरता है, x समय t पर माध्य स्थिति से द्रव्यमान का विस्थापन है और c अवमन्दन गुणांक है।

चूंकि समीकरण में उत्तेजन बल अनुपस्थित है यह मुक्त अवमन्दित कंपन का समीकरण है।

बलात अवमंदित कंपन:

\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = Fcos\omega t\)

अवमंदन कारक (ξ): वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। यानी \(\xi=\frac{c}{c_c}\)

गणना:

दिया गया:

\(9\ddot x + 9\dot x + 36x = 0\)

m = 9, c = 9, k = 36

\(\xi= \frac{c}{{{c_c}}} = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}= \frac{9}{{2\sqrt {36 \times 9} }}= 0.25\)

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात (ξ) को श्यान अवमंदन गुणांक और क्रांतिक श्यान अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{{c}}}{{2\sqrt {{{km}}} }}{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

जहाँ, ξ = अवमंदन अनुपात, c = अवमंदन गुणांक, k = स्प्रिंग नियतांक,

गणना:

दिया गया है:

m = 0.1 kg, k = 25 kN/m, c = 40 Ns/m

समीकरण (1) का उपयोग करके,

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{40}}{{2\sqrt {25 \times 10^3\times 0.1} }}{{}}\)

⇒ ξ = 0.4

संकल्पना:

मुक्त अवमंदित कंपन: \(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = 0\)

जहाँ m स्प्रिंग से निलंबित द्रव्यमान है, k स्प्रिंग की कठोरता है, x समय t पर माध्य स्थिति से द्रव्यमान का विस्थापन है और c अवमन्दन गुणांक है।

चूंकि समीकरण में उत्तेजन बल अनुपस्थित है यह मुक्त अवमन्दित कंपन का समीकरण है।

बलात अवमंदित कंपन:

\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = Fcos\omega t\)

अवमंदन कारक (ξ): वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) और क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) के अनुपात को अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है। यानी \(\xi=\frac{c}{c_c}\)

गणना:

दिया गया:

\(9\ddot x + 9\dot x + 36x = 0\)

m = 9, c = 9, k = 36

\(\xi= \frac{c}{{{c_c}}} = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}= \frac{9}{{2\sqrt {36 \times 9} }}= 0.25\)

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात (ξ) को श्यान अवमंदन गुणांक और क्रांतिक श्यान अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{{c}}}{{2\sqrt {{{km}}} }}{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

जहाँ, ξ = अवमंदन अनुपात, c = अवमंदन गुणांक, k = स्प्रिंग नियतांक,

गणना:

दिया गया है:

m = 0.1 kg, k = 25 kN/m, c = 40 Ns/m

समीकरण (1) का उपयोग करके,

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{40}}{{2\sqrt {25 \times 10^3\times 0.1} }}{{}}\)

⇒ ξ = 0.4

धारणा:

अवमंदन अनुपात:

\(\xi = \frac{C}{{{C_c}}}\)

ξ > 1: अतिअवमंदित प्रणाली

ξ = 1: क्रांतिक रूप से अवमंदित ​प्रणाली

ξ < 1: अधःअवमंदित ​प्रणाली

अवमंदित मुक्त कंपन के विभेदक समीकरण

\(m\ddot x + c\dot x + kx = 0\)

गणना:

2ẍ + 8ẋ + 32x = 0

निम्न से तुलना करने पर: mẍ + cẋ + kx = 0

M = 2 kg, c = 8 Ns/m, k = 32 N/m

अवमंदन कारक,\(\xi = {\rm{\;}}\frac{{\rm{c}}}{{2\sqrt {{\rm{km}}} }} = {\rm{\;}}\frac{8}{{2\sqrt {32 \times 2} }} = \frac{8}{{2{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}8}} = 0.5\)

∵ ξ < 1, प्रणाली अधः अवमंदित है।

व्याख्या:

अवमंदन गुणांक : अवमंदक की प्रभावशीलता का मापन, अवमंदक की क्षमता को दर्शाता है जिससे वह गति का विरोध कर सकता है जिसे अवमंदन गुणांक कहा जाता है। इसे c से दर्शाया जाता है।

अवमंदन बल इसके द्वारा दिया जाता है:

\(Damping\;force\;\left( F \right) = \; - c\frac{{dx}}{{dt}}--cv\)

\(c=-\frac{F}{v}\)

जहाँ c अवमंदन गुणांक है।

Additional Information

वास्तविक अवमंदन गुणांक (c) से क्रांतिक अवमंदन गुणांक (cc) का अनुपात अवमंदन कारक या अवमंदन अनुपात के रूप में जाना जाता है।

जब अवमंदन कारक 1 के समान या अधिक होता है तो इसके कारण अनावर्ती गति होती है।

लघुगणकीय ह्रास

लघुगणकीय ह्रास को माध्य रेखा के एक ही तरफ किन्हीं दो क्रमिक आयामों के अनुपात के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(\delta = \ln \frac{{{x_0}}}{{{x_1}}} = \ln \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\)

संकल्पना:

क्रांतिक अवमंदन एक अवमंदित दोलक के लिए शून्य आयाम का सबसे त्वरित उपागम प्रदान करता है।

अवमंदन अनुपात \(\zeta =\) वास्तविक अवमंदन / क्रांतिक अवमंदन  \( = \frac{c}{{{c_c}}}\)

जहाँ CC क्रांतिक अवमंदन गुणांक है।

\({C_C} = 2\sqrt {km} = 2m{\omega _n}\)

गणना:

क्रांतिक अवमंदन गुणांक को इसप्रकार दिया गया है:

\({c_c} = 2m{\omega _n} = 2\sqrt {km} = 2\sqrt {0.9 \times {{10}^3} \times 1} = 60\;Ns/m\)

क्रांतिक अवमंदन एक अवमंदित दोलक के लिए शून्य आयाम का सबसे त्वरित उपागम प्रदान करता है।

अवमंदन अनुपात \(\zeta =\) वास्तविक अवमंदन / क्रांतिक अवमंदन  \( = \frac{c}{{{c_c}}}\)

जहाँ C_C क्रांतिक अवमंदन गुणांक है।

\({C_C} = 2\sqrt {km} = 2m{\omega _n}\)

अतः क्रांतिक अवमंदन केवल द्रव्यमान और कठोरता का फलन है।

वर्णन:

अवमंदन कारक वास्तविक अवमंदन और क्रांतिक अवमंदन गुणांक का अनुपात होता है। यह दर्शाता है कि कैसे अवमंदन के बाद कंपन क्षय होता है, इसे निम्न रूप में दर्शाया गया है:

\(ζ = \frac{C}{C_c}\) जहाँ, C = अवमंदन गुणांक, C_c = क्रांतिक अवमानदंन गुणांक 

C_c = 2mω_n , जहाँ ω_n  = प्राकृतिक आवृत्ति, m = द्रव्यमान

\(ω_n = √{\frac{k}{m}} \)

C_c = 2m\( \sqrt{\frac{k}{m}}\) = \(2\sqrt{km}\)

\(ζ = \frac{C}{C_c} = \frac{C}{2\sqrt{km}}\)

जब:

ζ < 1 इसे अधःअवमंदित कंपन कहा जाता है।

ζ = 1 इसे क्रांतिक रूप से अवमंदित कंपन कहा जाता है।

ζ > 1 इसे अति अवमंदित कंपन कहा जाता है।

संकल्पना:

अवमंदन अनुपात (ξ) को श्यान अवमंदन गुणांक और क्रांतिक श्यान अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{{c}}}{{2\sqrt {{{km}}} }}{{\;\;\;\;\;}} \ldots \left( 1 \right)\)

जहाँ, ξ = अवमंदन अनुपात, c = अवमंदन गुणांक, k = स्प्रिंग नियतांक,

गणना:

दिया गया है:

m = 0.1 kg, k = 25 kN/m, c = 40 Ns/m

समीकरण (1) का उपयोग करके,

\(⇒ {{ξ }} = \frac{{40}}{{2\sqrt {25 \times 10^3\times 0.1} }}{{}}\)

⇒ ξ = 0.4

कॉन्सेप्ट:

मुक्त अवमंदित कंपन: \(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = 0\)

जहाँ m स्प्रिंग से निलंबित द्रव्यमान है, s स्प्रिंग की कठोरता है, x, t समय पर माध्य स्थिति से द्रव्यमान का विस्थापन है, और c अवमंदन गुणांक है। चूँकि समीकरण में उत्प्रेरक बल अनुपस्थित है इसलिए यह मुक्त अवमंदन कंपन का समीकरण है।

बलकृत अवमंदित कंपन:

\(m\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + c\frac{{dx}}{{dt}} + kx = Fcos\omega t\)

गणना:

\(6\ddot x + 9\dot x + 27x = 1\)

m = 6, c = 9, k = 27

\(\epsilon= \frac{c}{{{c_c}}} = \frac{c}{{2\sqrt {km} }}= \frac{9}{{2\sqrt {27 \times 6} }}= 0.3535\)

अवधारणा:

क्रांतिक अवमंदन एक अवमंदित दोलित्र के लिए शून्य आयाम के लिए सबसे त्वरित दृष्टिकोण प्रदान करता है।

अवमंदन अनुपात,

\(\zeta = \frac{{Actual\;damping}}{{Critical\;damping}} = \frac{c}{{{c_c}}}\)

जहाँ CC क्रांतिक अवमंदन गुणांक है

\({C_C} = 2\sqrt {km} = 2m{\omega _n}\)

गणना:

दिया गया है: m = 50 kg, k = 30 kN/m

अवमंदन के बिना प्रणोदित कंपन का समीकरण इस प्रकार दिया गया है

\(m\dot x + c\dot x + kx = F\sin \omega t\)

अवमंदन के साथ मुक्त कंपन के लिए समीकरण

\(m\ddot x + c\dot x + kx = 0\)

अवमंदन के बिना मुक्त कंपन के लिए समीकरण

\(m \ddot x + kx=0\)