Columns MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Columns - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

प्रभावी लंबाई गुणांक K स्तंभ की सीमा स्थितियों पर निर्भर करता है। एक स्तंभ के लिए जिसका एक सिरा निश्‍चित है और दूसरा सिरा कीलकित है, K मान 0.7 है।

Additional Information विभिन्न सीमा स्थितियों के लिए प्रभावी लंबाई गुणांक (K):

1. दोनों सिरे निश्‍चित (K = 0.5): स्तंभ दोनों सिरों पर अच्छी तरह से समर्थित है, इसलिए प्रभावी लंबाई कम हो जाती है।

2. दोनों सिरे पिन किए गए (K = 1.0): स्तंभ दोनों सिरों पर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है, जिससे प्रभावी लंबाई में कोई कमी नहीं होती है।

3. एक सिरा निश्‍चित और दूसरा मुक्त (K = 2.0): एक मुक्त सिरा प्रभावी लंबाई को बढ़ाता है, जिससे स्तंभ बकलिंग के लिए अधिक प्रवण हो जाता है।

4. एक सिरा निश्‍चित और दूसरा कीलकित (K = 0.7): यह संयोजन एक सिरे पर कुछ प्रतिरोध प्रदान करता है, जबकि दूसरे पर घुमाव की अनुमति देता है, इसलिए प्रभावी लंबाई पूरी तरह से पिन किए गए स्तंभ की तुलना में कम हो जाती है लेकिन पूरी तरह से निश्‍चित स्तंभ जितनी नहीं।

व्याख्या:

• जब स्तंभ के दोनों सिरे स्थिर होते हैं, तो यह दोनों सिरों पर घुमाव का प्रतिरोध करता है, जो उच्चतम प्रतिरोध प्रदान करता है। इसके परिणामस्वरूप सबसे कम प्रभावी लंबाई कारक (K) होता है, जो आमतौर पर दोनों सिरों के स्थिर होने पर 0.5 होता है।

• K का निम्न मान इंगित करता है कि स्तंभ बकलिंग के प्रति अधिक प्रतिरोधी है।

Additional Information 

एक सिरा स्थिर और दूसरा मुक्त

• प्रभावी लंबाई कारक (K = 2.0): यह सेटअप सबसे अधिक प्रभावी लंबाई कारक का परिणाम देता है क्योंकि मुक्त सिरा घुमाव का प्रतिरोध नहीं करता है, जिससे अधिक लचीलापन और बकलिंग के प्रति संवेदनशीलता होती है।

• व्यवहार: स्तंभ एक कैंटिलीवर की तरह व्यवहार करता है, जहाँ मुक्त सिरा एक स्थिर सिरे की तुलना में अधिक आसानी से विक्षेपित हो सकता है।

• सामान्य उपयोग: आमतौर पर उन स्थितियों में पाया जाता है जहाँ स्तंभ का एक सिरा स्थिर होता है (जैसे दीवार या फ्रेम में) और दूसरा खुला होता है (जैसे कैंटिलीवर बीम या संरचनात्मक तत्व)।

एक सिरा स्थिर और दूसरा पिन किया हुआ

• प्रभावी लंबाई कारक (K = 0.707): स्तंभ एक सिरे पर प्रतिबंधित है और दूसरे पर घूमने की अनुमति है। यह सेटअप मध्यम बकलिंग प्रतिरोध प्रदान करता है।

• व्यवहार: स्थिर सिरा घुमाव का प्रतिरोध करता है, जबकि पिन किया हुआ सिरा मुक्त घुमाव की अनुमति देता है। स्तंभ में कुछ लचीलापन है लेकिन फिर भी कुछ हद तक नियंत्रित है।

• सामान्य उपयोग: यह स्थिति स्तंभों में आम है जहाँ एक सिरा संरचना में एम्बेडेड होता है (जैसे, एक फ्रेम) और दूसरा पिन किया जाता है, जिससे कुछ घुमाव की अनुमति मिलती है लेकिन फिर भी समर्थन प्रदान करता है।

दोनों सिरे पिन किए हुए

• प्रभावी लंबाई कारक (K = 1.0): दोनों सिरे पिन किए गए हैं, जिसका अर्थ है कि स्तंभ दोनों सिरों पर स्वतंत्र रूप से घूम सकता है लेकिन क्षैतिज रूप से स्थानांतरित नहीं हो सकता है। यह बकलिंग प्रतिरोध का एक मध्यम स्तर प्रदान करता है।

• व्यवहार: चूँकि दोनों सिरे घूम सकते हैं, इसलिए स्तंभ उतना स्थिर नहीं है जितना कि स्थिर सिरों वाला होता है, लेकिन फिर भी बेहतर है अगर एक सिरा पूरी तरह से मुक्त होता।

• सामान्य उपयोग: सरल संरचनात्मक प्रणालियों में पाया जाता है जहाँ स्तंभ दोनों सिरों पर बीम या स्लैब से जुड़े होते हैं जो स्तंभ को घुमाव के खिलाफ स्थिर नहीं करते हैं।

वर्णन:

बकलिंग/क्रांतिक भार:

उस भार को बकलिंग भार के रूप में संदर्भित किया जाता है जिसपर स्तंभ झुका होता है। बकलिंग भार को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({P_b} = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{L_e^2}}\)
जहाँ E = यंग के प्रत्यास्थता का मापांक, Imin = न्यूनतम जड़त्वाघूर्ण, और Le = प्रभावी लम्बाई 

संप्रत्यय:

एक सिरे पर स्थिर और दूसरे सिरे पर कब्ज़ा वाले स्ट्रट के लिए क्रिपलिंग लोड की गणना ऑयलर के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: \( P = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2} \)

जहाँ, \( L_e = \frac{L}{\sqrt{2}} \) इस सिरे की स्थिति के लिए।

दिया गया है:

L = 4 m = 4000 mm, d = 80 mm, E = 2 x 10⁵ N/mm², π³ = 31

गणना:

प्रभावी लंबाई, \( L_e = \frac{4000}{\sqrt{2}} = 2828.4 \, \text{mm} \)

जड़त्व आघूर्ण, \( I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{3.14 \times 80^4}{64} = 2010613 \, \text{mm}^4 \)

क्रिपलिंग लोड, \( P = \frac{\pi^2 \times 2 \times 10^5 \times 2010613}{(2828.4)^2} = 495142.4 \, \text{N} \approx 496 \, \text{kN} \)

संप्रत्यय:

एक स्तंभ के लिए ऑयलर बकलिंग लोड दिया गया है,

\({{\rm{P}}_{\rm{E}}}{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}}\)

जहाँ, Le स्तंभ की प्रभावी लंबाई है जो अंत समर्थन स्थितियों पर निर्भर करती है, और EI स्तंभ की लचीलापन कठोरता है।

अब, वास्तविक लंबाई (L) के संदर्भ में विभिन्न अंत स्थितियों के लिए प्रभावी लंबाई (Le) निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं:

∴ दोनों सिरे स्थिर होने पर प्रभावी लंबाई Le = 0.5 L

क्रिपलिंग भार, \({{\rm{P}}_{{\rm{cr}}}} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{EI}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}}\)

जहाँं,

L_e = प्रभावी लंबाई,और I = बंकन अक्ष के चारों ओर जड़त्व आघूर्ण

दिए गए E और I के लिए:

\({{\rm{P}}_{{\rm{cr}}}} \propto \frac{1}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}}\)

या

\({\left( {{{\rm{P}}_{{\rm{cr}}}}} \right)_1}{\rm{\;}}{\left( {{\rm{L}}_{\rm{e}}^2} \right)_1} = {\left( {{{\rm{P}}_{{\rm{cr}}}}} \right)_2}{\left( {{\rm{L}}_{\rm{e}}^2} \right)_2}\)       ---(1)

अब

जब दोनों सिरे स्थिर हैं:

जब एक सिरा मुक्त और दूसरा सिरा स्थिर होता है।

Le₂ = 2L औऱ (P_cr)₂ = P₂

समीकरण (1) का उपयोग करके,हमें मिलता है

\(\left( {\rm{F}} \right) \times {\left( {\frac{{\rm{L}}}{2}} \right)^2} = \left( {{{\rm{P}}_2}} \right) \times {\left( {2{\rm{L}}} \right)^2}\)

\(\Rightarrow {{\rm{P}}_2} = \frac{{\rm{F}}}{{16}}\)

व्याख्या:

हम जानते हैं कि-

\(Slenderness\, ratio\, (\lambda) ={L_{eff}\over r_{min}}\)

जहां L_eff = स्तंभ की प्रभावी लंबाई

r_min = परिभ्रमण की न्यूनतम त्रिज्या

\(r_{min}=\sqrt{I_{min}\over A}\)

गणना:

दी गई जानकारी:

X-अक्ष (L_eff-XX) के बारे में स्तंभ की प्रभावी लंबाई = 3 m या 3000 mm

Y-अक्ष (L_eff-YY) के बारे में स्तंभ की प्रभावी लंबाई = 2.75 m या 2750 mm

स्तंभ का अनुप्रस्थ काट = 400 mm × 600 mm

स्तंभ (B) की चोडाई = 400 mm

स्तंभ (D) की गहराई = 600 mm

\(I_{min}={db^3\over 12}={{600× 400^3}\over 12}=32× 10^8\, mm^4\)

\(Area\,(A)=bd=400\times 600=24\times 10^4\, mm^2\)

\(r_{min}=\sqrt{32\times 10^8\over 24\times 10^4} =115.470\, mm\)

X-अक्ष के बारे में तनुता अनुपात:

\(Slenderness\, ratio\, about\, X-axis\, (\lambda) ={L_{eff-XX}\over r_{min}}\)

\(Slenderness\, ratio\, about\, X-axis\, (\lambda_{X}) ={3000\over 115.47}=25.98\)

\(\lambda_{Y}=25.98 <32\)

Y-अक्ष के बारे में तनुता अनुपात:

\(Slenderness\, ratio\, about\, Y-axis\, (\lambda_{Y}) ={L_{eff-YY}\over r_{min}}\)

\(Slenderness\, ratio\, about\, Y-axis\, (\lambda_{Y}) ={2750\over 115.47}=23.815\)

\(\lambda_{Y}=23.815 <32\)

1. लघु स्तंभों में 32 से कम का तनुता अनुपात होता है।
2. मध्यम स्तंभ तनुता अनुपात 32 से 120 के बीच है।
3. लंबे स्तंभों का तनुता अनुपात 120 से अधिक है।

अतः स्तम्भ एक लघु स्तम्भ है।

अवधारणा :

प्रभावी लंबाई को शून्य बंकन आघूर्ण या प्रतिवंकन के दो आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा परिभाषित किया जाता है।

क्लैम्प्ड मुक्त स्तंभ का मतलब है एक सिरा नियत और दूसरा सिरा मुक्त है।

प्रभावी लंबाई का मान आलम्बन परिस्थितियों के अनुसार परिवर्तित होता है।

संकल्पना:

स्तंभ के लिए, बकलिंग भार को निम्न रूप में लिया गया है, 

\({\rm{P}} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E\;}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}}\)

E = प्रत्यास्थता मापांक, I_min = न्यूनतम जड़त्वाघूर्ण, और L_e = स्तंभ की प्रभावी लम्बाई

गणना:

पहली स्थिति में: ऊंचाई = h, और अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल = a × 2a

\({\rm{I}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{h}}^3}}}{{12}} = {\rm{min}}\left\{ {\frac{{2{\rm{a}} \times {{\rm{a}}^3}}}{{12}},\frac{{{\rm{a}} \times {{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^3}}}{{12}}} \right. = \frac{{2{{\rm{a}}^4}}}{{12}}\)

\({\rm{P}} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E\;}}\left( {\frac{{2{\rm{a}} \times {{\rm{a}}^3}}}{{12}}} \right){\rm{\;}}}}{{{{\rm{h}}^2}}} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E}}{{\rm{a}}^4}}}{{6{{\rm{h}}^2}}}\)

\({\rm{I}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{h}}^3}}}{{12}} = {\rm{min}}\left\{ {\frac{{2{\rm{a}} \times {{\rm{a}}^3}}}{{12}},\frac{{{\rm{a}} \times {{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^3}}}{{12}}} \right. = \frac{{2{{\rm{a}}^4}}}{{12}}\)

दूसरी स्थिति में: ऊंचाई = 1.5 h, और अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल = 3a × 0.5a

संकल्पना:

यूलर द्वारा दिया गया बंकन भार निम्न है:

\(P = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{L_{eff}^2}}\)

जहाँ,

E = सामग्री की प्रत्यास्थता का मापांक

I = जड़त्व आघूर्ण

\(I = \frac{\pi }{{64}}{D^4}\)

Leff = स्तंभ की प्रभावी लंबाई

गणना:

स्तंभ का व्यास "D" होने पर P1 को स्तंभ का बंकन भार होने दें

\({P_1} \propto D^4\)

मान लीजिए कि P₂ स्तंभ का बकलिंग भार है, जब व्यास 20% कम हो जाता है, तो यह 0.8D हो जाता है।

\({P_2} \propto {\left( {0.80D} \right)^4}\)

\(\% \;reduction = \;\frac{{{P_1} - {P_2}}}{{{P_1}}} \times 100\)

\(\% \;reduction = \;\frac{{{D^4} - {{\left( {0.80D} \right)}^4}}}{{{D^4}}} \times 100\)

% कमी = 59.04%

संकल्पना:

स्लैंडरनेस अनुपात (λ):

एक संपीड़न सदस्य के स्लैंडरनेस अनुपात को उसकी प्रभावी लंबाई और घूर्णन की त्रिज्या की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, 

\({\rm{\lambda }} = \frac{{{{\rm{L}}_{{\rm{eff}}}}}}{{{{\rm{r}}_{{\rm{min}}}}}}\)

जहाँ,

L_eff = संपीजन सदस्य की प्रभावी लंबाई

r_min = घूर्णन की न्यूनतम त्रिज्या

\({{\rm{r}}_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{\rm{A}}}} \)

I_min = क्षेत्रफल का न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

A = आकार का क्षेत्रफल

गणना:

दिया गया है,

वृत्ताकार काॅलम के लिए

D = 40 cm, L = 4 m = 400 cm

\({\rm{A}} = \frac{{{\rm{\pi }}{{\rm{D}}^2}}}{4}\), \({{\rm{I}}_{{\rm{min}}}} = \frac{{{\rm{\pi }}{{\rm{D}}^4}}}{{64}}\)

\({{\rm{r}}_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{\frac{{{\rm{\pi }}{{\rm{D}}^4}}}{{64}}}}{{\frac{{{\rm{\pi }}{{\rm{D}}^2}}}{4}}}} = \sqrt {\frac{{{D^2}}}{{16}}} = \frac{D}{4}\)

\({\rm{\lambda }} = \frac{{{{\rm{L}}_{{\rm{eff}}}}}}{{{{\rm{r}}_{{\rm{min}}}}}} = \frac{{400}}{{\frac{D}{4}}} = \;40\)

इसलिए वृत्ताकार काॅलम  का स्लैंडरनेस अनुपात 40 होगा।

अवधारणा:

क्षीणता अनुपात को स्तंभ की प्रभावी लंबाई और न्यूनतम परिभ्रमण त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

\({\rm{\lambda }} = \frac{{{{\rm{L}}_{{\rm{eff}}}}}}{{{{\rm{r}}_{{\rm{min}}}}}} \)

जहां,

\({{\rm{r}}_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{\rm{I}}}{{\rm{A}}}} \)

\({\rm{I}} = \frac{{{\rm{\pi }} \times {{\rm{D}}^4}}}{{64}} \)

\({\rm{A}} = \frac{{\rm{\pi }}}{4} \times {{\rm{D}}^2} \)

जहां,

L_eff =स्तंभ की प्रभावी लंबाई

r_min = न्यूनतम परिभ्रमण त्रिज्या

I = केन्द्रक अक्ष की जड़ता का आघूर्ण

A = स्तंभ के  अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल

गणना:

दोनों सिरों से कब्जायुक्त स्तंभके लिए, L_eff =स्तंभ की स्वयम की लंबाई =5 m = 500 cm

\({{\rm{r}}_{{\rm{min}}}} = \sqrt {\frac{{{{\rm{D}}^2}}}{{16}}} = \frac{{\rm{D}}}{4} \)

D = 16 cm

r_min = 4 cm = 0.04 m

अवधारणा:

\(\frac{1}{{{P_R}}} = \frac{1}{{P_c}} + \frac{1}{{P_e}}\)

जहाँ, PR = रैंकिन भार, Pc = संदलन भार, और Pe = यूलर का व्याकुंचन भार

गणना​:

दिया गया है:

P_e = 1000 KN, P_c = 1500 KN

\(\frac{1}{{{P_R}}} = \frac{1}{{1000}} + \frac{1}{{1500}}\)

⇒ PR = 600 kN

Additional Information

स्टील कॉलम का यूलर व्याकुंचन भार (P_cr) है

\({P_{cr}} = \frac{{{\pi ^2}EI}}{{L_{eff}^2}}\)

जहाँ EI = आनमनी दृढ़ता, Leff = स्तंभ की प्रभावी लंबाई

यूलर का सिद्धांत:

• यह सिद्धांत केवल लंबे स्तम्भों के लिए ही मान्य होता है।
• यह सिद्धांत तभी मान्य होता है जब तनुता अनुपात क्रांतिक तनुता अनुपात से अधिक या बराबर हो।
• क्रांतिक तनुता अनुपात से ऊपर किसी भी तनुता अनुपात के लिए, स्तम्भ व्याकुंचन द्वारा विफल होता है और इस मान से कम तनुता अनुपात के किसी भी मान के लिए, स्तम्भ संदलन में विफल रहता है, न कि व्याकुंचन में।

यूलर का क्रांतिक भार सूत्र निम्न है,

P = \(\frac{{{n^2}{\pi ^2}EI}}{{{L^2}}}\)

यूलर का सूत्र तब लागू होता है जब, संदलन प्रतिबल ≥ व्याकुंचन प्रतिबल 

\({σ _{cr}} ≥ \frac{{{\pi ^2}E}}{{{λ _c^2}}}({λ _c}\;is\;critical\;slenderness\;ratio)\)

\({λ _{min}^2} = {λ _c^2} ≥ \frac{{{\pi ^2}E}}{{{σ _{cr}}}}\)    

मृदू स्टील के लिए,

E = 2 × 105 N/mm2

σcr = 330 N/mm2

∴ λ ≥ 80 N/mm2

∴ जब मृदू स्टील स्तम्भ के लिए तनुता अनुपात 80 से कम होता है, तो यूलर का सिद्धांत लागू नहीं होता है।

वर्णन:

यूलर के स्तंभ सिद्धांत के अनुसार छोर स्थितियों के अलग-अलग प्रकारों के लिए स्तंभ पर क्रांतिक भार (P) निम्न है:

\({{\rm{P}}_{\rm{e}}} = \frac{{{\rm{\pi E}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{{\rm{L}}_{\rm{e}}^2}} = \frac{{{\rm{n}}{{\rm{\pi }}^2}{\rm{E}}{{\rm{I}}_{{\rm{min}}}}}}{{{{\rm{L}}^2}}}\)

जहाँ Pe = व्याकुंचन भार, Imin = [Ixx और Iyy] का न्यूनतम, L = स्तंभ की वास्तविक लम्बाई, α = लम्बाई स्थिरता गुणांक, n = छोर स्थिरता गुणांक

Le = αL और \({\bf{n}} = \frac{1}{{{\alpha ^2}}}\)

यूलर का सूत्र केवल लंबे स्तंभों के लिए अच्छा होता है।

दिए गए छोर स्थितियों के लिए लम्बाई स्थिरता गुणांक और छोर स्थिरता गुणांक निम्नलिखित तालिका में दिया गया है: