निर्देशांक ज्यामिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Co-ordinate Geometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

शीर्ष (3, 5), (- 2, 0) और (6, 4) हैं

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2[x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)]

गणना:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2|3(0 – 4) - 2(4 – 5) + 6(5 – 0)|

⇒ 1/2|- 12 + 2 + 30|

⇒ 1/2 × 20

⇒ 10  

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10 इकाई2

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल 10 इकाई2 है।

 दिया गया है:

 A(-1, 1) B, (5, 1), C(5, 6) और D(-1, 6)

प्रयुक्त सूत्र:

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल + ∆ACD का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं

=  \(\dfrac{1}{2}\) |x₁(y₂-y₃) +x₂(y₃-y₁) +x₃(y₁-y₂)

गणना:

∆ABC का क्षेत्रफल =  \(\dfrac{1}{2}\)  | − 1[1 − 6)] + (5) (6 - 1) + 5 [1 - 1)] |

=  \(\dfrac{1}{2}\)  | 5 + 25 |

= 15 वर्ग इकाई

∆ACD का क्षेत्रफल =  \(\dfrac{1}{2}\) |− 1(6 – 6) + 5(6 – 1) + (-1)( 1 − 6) |

=  \(\dfrac{1}{2}\) | 25 + 5 |

= 15 वर्ग इकाई

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 15 + 15

= 30 वर्ग इकाई

∴ चतुर्भुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग इकाई है।

∴ सही उत्तर 30 वर्ग इकाई है।

दिया गया है:

बिंदु: P(-2, 1), Q(α, β), R(4, -1)

α - β = -3

प्रयुक्त सूत्र:

संरेख बिंदुओं के लिए, PQ की प्रवणता = QR की प्रवणता

प्रवणता सूत्र: (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

गणना:

PQ की प्रवणता = (β - 1) / (α + 2)

QR की प्रवणता = (-1 - β) / (4 - α)

चूँकि P, Q, R संरेख हैं:

⇒ (β - 1) / (α + 2) = (-1 - β) / (4 - α)

वज्र गुणा करने पर:

⇒ (β - 1)(4 - α) = (-1 - β)(α + 2)

⇒ 4β - βα - 4 + α = -α -2 - βα - 2β

⇒ 4β + α + α + 2β = -2 + 4

⇒ 6β + 2α = 2

⇒ 3β + α = 1

दिया गया है कि α - β = -3:

α - β = -3 से ⇒ α = β - 3

3β + α = 1 में प्रतिस्थापित कीजिए:

⇒ 3β + (β - 3) = 1

⇒ 4β - 3 = 1

⇒ 4β = 4

⇒ β = 1

इसलिए, α = 1 - 3 = -2

α + β = -2 + 1 = -1

∴ सही उत्तर -1 है।

दिया गया है:

x + 4 = 0

गणनाएँ:

x = – 4

ग्राफ पर समीकरण नीचे दिखाया गया है:

∴ उपर्युक्त समीकरण y- अक्ष के समानांतर है और (-4, 0) से होकर गुजरता है

संकल्पना:

1.अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता है 

m =  \(\rm { (y_2 - y_1)}\over{(x_2 - x_1 )}\)

2. यदि प्रवणता m1 और m2 वाली दो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं तो m1m2 = - 1

गणना:

माना M(h, k) रेखा पर आवश्यक बिंदु है

x + y = 3          ------(1)

इसकी तुलना y = mx + c से करने पर, हम प्राप्त करेंगे

दी गई रेखा की प्रवणता m = -1  

माना रेखा PM की प्रवणता m' है।

∵ रेखा PM दी गई रेखा पर लंबवत है, इसलिए

mm' = -1 ⇒ m' = 1

अतः लम्ब रेखा PM की प्रवणता 1 है।

साथ ही PM की प्रवणता = \(\frac{k\ -\ 3}{h\ -\ 2}\ =\ 1\)

⇒  k – 3 = h – 2

⇒  h – k = - 1       ------(2)

चूंकि बिंदु M दी गई रेखा पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा। 

⇒ h + k = 3       ------(3)

(2) और (3) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

h = 1, k = 2

अतः M के निर्देशांक (1, 2) हैं।

अत: विकल्प (2) सही है।

दिया है:-

त्रिभुज के शीर्ष = (1,2), (-4,-3), (4,1)

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]

जिनके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं

गणना :

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}]

= (1/2) × {(-4) + 4 + 20}

= 20/2

= 10 वर्ग इकाई

A(4, 1), B(1, 1) और C(3, 5) त्रिभुज के तीन शीर्ष है। फिर,

⇒ AB² = (1 - 1)² + (1 - 4)² = 9

⇒ BC² = (5 - 1)² + (3 - 1)² = 20

⇒ AC² = (5 - 1)² + (3 - 4)² = 17

दिया गया:

केन्द्रक का निर्देशांक = (4,8)

शीर्ष 1 का निर्देशांक = (9,7)

शीर्ष 2 का निर्देशांक = (1,4)

प्रयुक्त अवधारणा :

यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक का सूत्र नीचे दिया गया है:

त्रिभुज का केन्द्रक = ((x1 + x2+ x3)/3, (y1+ y2 + y3)/3)

क्षेत्रफल =

गणना :

मान लीजिए कि तीसरे शीर्ष का निर्देशांक (a,b) है।

प्रश्न के अनुसार,

(a + 9 + 1) ÷ 3 = 4

⇒ a = 2

(b + 7 + 4) ÷ 3 = 8

⇒ b = 13

तो, तीसरे शीर्ष का निर्देशांक (2,13) है

त्रिभुज के तीन शीर्षों के निर्देशांक (9,7), (2,13) ​​और (1,4) हैं। 

शीर्ष के सूत्र द्वारा हम त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल

A = (1/2) [9(13 - 4) + 2(4 - 7) + 1(7 - 13)] = 34.5 इकाई²

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल 34.5 इकाई² है।

सूत्र:

 रेखा की ढलान  = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

दिया गया है:

y₂ = 2,    y₁ = -4,    x₂ = 5,    x₁ =3

आकलन:

⇒ {2 – (- 4)}/{5 – 3}

⇒ (6)/(2)

⇒ 3

दिया गया है:

दो बिंदुओं (-6, y) और (18, 6) के बीच की दूरी 26 इकाई है।

प्रयुक्त सूत्र:

D = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

जहाँ,

दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी D इकाई है।

गणना:

दो बिंदुओं के बीच की दूरी = 26 इकाई

पहले निर्देशांक का मान = (x1, y1) = (-6, y)

दूसरे निर्देशांक का मान = (x2, y2) = (18, 6)

प्रश्न के अनुसार,

⇒ D = \(\sqrt{(18-(-6))^2 + (6-y)^2} \)

⇒ 26 = \(\sqrt{(24)^2 + (6-y)^2} \)

समीकरण के दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ 676 = 242 + (6 - y)2

⇒ 676 = 576 + (6 - y)2

⇒ 100 = (6 - y)2

⇒ 102 = (6 - y)2

समीकरण के दोनों ओर वर्गमूल करने पर,

⇒ 10 = 6 - y

⇒ y = -4

∴ अभीष्ट उत्तर -4 है।

माना कि परावर्तित बिंदु (x, y) है।

तब मध्य बिंदु (-1, 3) और (x, y) है जो (x-1/2, y + 3/2) है, अवश्य रेखा x = -4 मिलती है।

⇒ x – 1/2 = -4

⇒ x = -8 + 1 = -7

चूंकि मूल और परावर्तित बिंदु को जोड़ने वाली रेखा x = -4 पर है, इसलिए इसकी ढलान 0 होगी।

⇒ [y – 3]/[(-7) – (-1)] = 0

⇒ y – 3 = 0

⇒ y = 3

दिया गया है:

x1 = 4, x2 = 3, y1  = 3, y2 = - 2

सूत्र:

दो बिन्दुओं के बीच की दूरी = √[(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]

गणना:

√[(4 – 3)² + (3 – {-2})²]

⇒ √[(1)2 + (5)2]

प्रयुक्त अवधारणा:

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण है

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

गणना:

केंद्र और व्यास के अंत के बीच की दूरी त्रिज्या होती है।

\( ⇒ r = \sqrt{(2-(-2))^2+(3-5)^2} = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}\)

अतः, दिए गए वृत्त का समीकरण (x - (-2))2 + (y - 5)2 = 20 होगा।

⇒(x + 2)2 + (y - 5)2 = 20

अब, व्यास के दूसरे सिरे को भी समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्पों में से, केवल एक बिंदु है जो वृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात (-6, 7)

⇒ (-6 + 2)2 + (7 - 5)2 =  (-4)2 + (2)2 = 16 + 4 = 20 = दायाँ पक्ष

अत: (-6, 7) व्यास का दूसरा सिरा है।

Shortcut Trick गणना:

एक वृत्त का केंद्र व्यास के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करके

⇒ (2 + x)/2 = - 2

⇒ x = (- 4 - 2) = - 6

और,

⇒ (3 + y)/2 = 5

⇒ y = (10 - 3) = 7

∴ व्यास के दूसरे सिरे का निर्देशांक = (- 6, 7).

⇒ अन्तः विभाजन के लिए खंड सूत्र = {[(mx₂ + nx₁)/(m + n)], [(my₂ + ny₁)/(m + n)]}

⇒ यहाँ, x₁, y₁ = (- 1, 0) और x₂, y₂ = (2, 6). m : n = 2 : 1

⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)

अवधारणा:

व्यंजक पर विचार कीजिये: a1x + b1y + c = 0 और a2x + b2y + c = 0

समीकरण के लिए स्थिति अद्वितीय समाधान है अगर a1/a2 ≠ b1/b2

समीकरण के लिए स्थिति अनंत समाधान है अगर a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

समीकरण के लिए स्थिति कोई समाधान नहीं है अगर a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 

हिसाब:

समीकरण है x – Ky = 2, 3x + 2y = 5

यहां, a1 = 1, b1 = -k, a2 = 3, b2 = 2

1/3 ≠ -k / 2

K ≠ -2/3

∴ K का आवश्यक मान -2/3 के बराबर नहीं होना चाहिए