তৃতীয় আনুপাতিক MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Third Proportional - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

প্রথম সংখ্যা (a) = 16

দ্বিতীয় সংখ্যা (b) = 48

অনুসৃত সূত্র:

তৃতীয় সমানুপাতিক (c) = \(\dfrac{b^2}{a}\)

গণনা:

c = \(\dfrac{48^2}{16}\)

⇒ c = \(\dfrac{2304}{16}\)

⇒ c = 144

∴ সঠিক উত্তর হল বিকল্প (4)

প্রয়োগকৃত সূত্র:

যদি 'a' এবং 'b' দুটি সংখ্যা হয় এবং 'c' তৃতীয় সমানুপাতী হয়, তাহলে a : b = b : c

গণনা:

a = 36, b = 18

36 :18 = 18 : x

⇒ (36 × x) = (18 × 18)

⇒ 36x = 324

⇒ x = 324 / 36

⇒ x = 9

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 4

প্রদত্ত:

প্রথম সংখ্যা (a) = 9

দ্বিতীয় সংখ্যা (b) = 7

তৃতীয় সংখ্যা (c) = x

চতুর্থ সংখ্যা (d) = 14

ব্যবহৃত সূত্র:

a এবং b এর তৃতীয় সমানুপাতী হল: বজ্রগুণন।

গণনা:

9:7::x:14

বজ্রগুণন করে পাই,

9 × 14 = 7 × x

x = 18

সঠিক উত্তর বিকল্প 4

প্রদত্ত:

প্রথম সংখ্যা = 6

দ্বিতীয় সংখ্যা = 24

ব্যবহৃত সূত্র:

যদি a, b এবং c ক্রমিক সমানুপাতে থাকে, তাহলে:

a : b = b : c

তৃতীয় সমানুপাতী (c) = (b²) / a

গণনা:

তৃতীয় সমানুপাতী (c) = (242) / 6

c = 576 / 6

c = 96

∴ তৃতীয় সমানুপাতী 96.

প্রদত্ত:

আমাদের 9 এবং 15 এর সাথে তৃতীয় সমানুপাতিক প্রাপ্ত করতে হবে

ব্যবহৃত ধারণা:

অনুপাত এবং অনুপাতের ধারণা

গণনা:

ধরা যাক, তৃতীয় সমানুপাতিক হবে x

তারপর,

9 : 15 : : 15 : x

⇒ 9/15 = 15/x

⇒ x = (15 x 15) / 9

⇒ x = 25

∴ প্রয়োজনীয় তৃতীয়টি 9 এবং 15 এর সমানুপাতিক হল 25।

প্রদত্ত:

প্রথম সংখ্যা (a) = (x2 - y2)

দ্বিতীয় সংখ্যা (b) = (x - y)

অনুসৃত সূত্র:

তৃতীয় সমানুপাতী = {দ্বিতীয় সংখ্যা (b)}²/প্রথম সংখ্যা (a)

(x2 - y2) = (x - y) × (x + y)

গণনা:

তৃতীয় সমানুপাতী = (x - y)²/(x2 - y2)

⇒ {(x - y) × (x - y)}/{(x - y) × (x + y)} 

⇒ \(\rm \frac{x-y}{x+y}\)

∴ সঠিক উত্তর হল \(\rm \frac{x-y}{x+y}\) 

অনুসৃত ধারণা:

অনুপাতের তৃতীয় সামানুপাতিকটি হল গড় পদের দ্বিতীয় পদ।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের কাছে a ∶ b = c ∶ d থাকে, তাহলে 'c' অক্ষরটি 'a' এবং 'b'-এর তৃতীয় সমানুপাতিক হবে।

এইরূপে প্রদর্শিত হয়:

a : b ∷ b : c

গণনা:

ধরি, 16 এবং 24 এর তৃতীয় সামানুপাতিকটি হল x

⇒ 16/24 = 24/x

⇒ x = (24 × 24)/16

⇒ x = 36

∴ 16 এবং 24 এর তৃতীয় সমানুপাতিক হল 36

অনুসৃত ধারণা:

তৃতীয় সমানুপাতিক- a ∶ b ∶ ∶ b ∶ c

গণনা:

ধরি x যোগ করতে হবে

16 ∶ 28 ∶∶ 28 ∶ (40 + x)

16/28 = 28/(40 + x)

40 + x = (28 × 28)/16

⇒ x = 9

প্রদত্ত তথ্য:

প্রথম পদ = b² - a²

দ্বিতীয় পদ = b² - ab

ধারণা: প্রদত্ত দুটি পদ x এবং y এর তৃতীয় সমানুপাতিক (y² / x)

ধাপে-ধাপে সমাধান:

তৃতীয় সমানুপাতিক = (b² - ab)² / (b² - a²) = \(\rm \frac{b^2(b-a)}{(b+a)}\)

সুতরাং, (b² - a²) এবং (b² - ab) এর তৃতীয় সমানুপাতিক​ হল \(\rm \frac{b^2(b-a)}{(b+a)}\)

প্রদত্ত:

সংখ্যা = 12, 24 এবং 27

গণনা:

12, 24 এবং 27-এর চতুর্থ সমানুপাতী n হলে,

⇒ 12 : 24 :: 27 : n 

⇒ 12/24 = 27/n

⇒ n = 54

তাহলে,

A এবং 36-এর তৃতীয় সমানুপাতী 54.

⇒ A : 36 = 36 : 54

⇒ 54A = 362

⇒ A = 24

∴ A-এর মান 24.

প্রদত্ত:

x এবং 30 এর তৃতীয় সমানুপাতিক নির্ণয় করুন, যখন 45 : 12 : : 75 : x হয়।

অনুসৃত সূত্র:

তৃতীয় সমানুপাতিক:

ধরি, a এবং b এর জন্য 'z' হল তৃতীয় সমানুপাতিক।

তাহলে, (a : b :: b : z)

অতএব,

z = \(\frac{b^2}{a}\)

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

45 : 12 : : 75 : x.

এটিকে এভাবে লেখা যেতে পারে নিম্নরূপে:

⇒ \(\frac{45}{12} = \frac{75}{x}\)

⇒ x = \(\frac{12 \times 75}{45}\) = 20

এখন,

ধরি, y হল 20 এবং 30 এর তৃতীয় সমানুপাতিক।

⇒ y = \(\frac{30^2}{20}\)= 45

20 এবং 30 এর তৃতীয় সমানুপাতিক = 45

অতএব, '45' হল আবশ্যকীয় উত্তর।

Additional Information

1. প্রথম সমানুপাতিক:

ধরি, 'x' হল a, b এবং c এর জন্য প্রথম সমানুপাতিক।

তাহলে, (x : a :: b : c)

অতএব,

x = \(\frac{ab}{c}\)

2. গড় সমানুপাতিক:

ধরি, 'x' হল a এবং b-এর গড় সমানুপাতিক।

তাহলে, (a : x :: x : b)

অতএব,

x = \(\sqrt{ab}\)

3. চতুর্থ সমানুপাতিক:

ধরি, 'x' হল a, b এবং c এর জন্য প্রথম সমানুপাতিক।

তাহলে, (a : b :: c : x)

অতএব,

x = \(\frac{bc}{a}\)

প্রদত্ত:

a = 2

b = 3

ধারণা:

a3 + b3 এবং a2 + ab + b2 এর তৃতীয় সমানুপাতিক নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান:

প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যা পেতে দুটি রাশিতে a এবং b প্রতিস্থাপন করুন।

⇒ প্রথম সংখ্যা = a3 + b3 = 23 + 33 = 8 + 27 = 35

⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = a2 + ab + b2 = 22 + 2*3 + 32 = 4 + 6 + 9 = 19

⇒ দুইটি সংখ্যার (x এবং y) তৃতীয় সমানুপাতিক (T) সূত্র, T = (y²)/x 

সুতরাং, প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যা প্রতিস্থাপন করে পাই:

⇒ T = (19²)/35 = 10.31

অতএব, a = 2 এবং b = 3 হলে, a3 + b3 এবং a2 + ab + b2 এর তৃতীয় সমানুপাতিক হল প্রায় 10.31 (দুই দশমিক স্থানে সঠিক)।

প্রদত্ত:

p হল 3, 9-এর তৃতীয় সমানুপাতিক

গণনা:

ধরি চতুর্থ সমানুপাতিক x

p হল 3, 9-এর তৃতীয় সমানুপাতিক

⇒ 3/9 = 9/p

⇒ 3p = 81

⇒ p = 27

এখন,

চতুর্থ সমানুপাতিক হল

⇒ 6/27 = 4/x

⇒ 6x = (27 × 4)

⇒ 6x = 108

⇒ x = 18

∴ চতুর্থ সমানুপাতিকের মান 18

প্রদত্ত,

3 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতিক  হবে x

16 এবং 4 এর গড় অনুপাত হল y

সূত্র:

x এবং y এর গড় অনুপাত = √xy 

a এবং b এর তৃতীয় অনুপাত = b²/a 

গণনা:

3 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতিক  = (12 × 12)/3 = 48

16 এবং 4 এর গড় অনুপাত = √(16 × 4) = 8

x ∶ y = 48 ∶ 8 = 6 ∶ 1

∴ x এবং y এর অনুপাত 6 ∶ 1

Shortcut Trick x এবং y এর গড় অনুপাত = √xy এবং  a এবং b এর তৃতীয় সমানুপাতিক = b2/a

x : y = √( 3× 12) : \(\frac{4^2}{16}\)

x : y =  6 : 1