গুণোত্তর প্রগতি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Geometric Progression - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যবহৃত ধারণা:

n পর্যবেক্ষণ সম্বলিত একটি সিরিজের জ্যামিতিক গড় (GM) হল মানগুলির গুণফলের nম মূল।

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x__{n}}\end{অ্যারে}\)

গণনা:

উপরের সূত্র ব্যবহার করে-

⇒ 8 ⁵ = 32 x 4 x 8 x X x 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ সঠিক উত্তর হল 16

এখানে অনুসৃত যুক্তি নিম্নরূপ:

একটি গুণোত্তর প্রগতির (GP)-এর পদগুলির সাধারণ রূপ হল a, ar, ar² এবং তাই৷ এখানে, "a" হল প্রথম পদ, এবং "r" হল সাধারণ অনুপাত।

তারপর, একটি GP এর nতম পদ হল → arn-1

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল "arn-1"

প্রদত্ত:

একটি গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ ‘a’ = 16 এবং সাধারণ অনুপাত ‘r’ = 2

অনুসৃত ধারণা:

এই ধরণের প্রশ্নে, যেখানে ‘r’ > 1, সেখানে একটি গুণোত্তর প্রগতির n সংখ্যক পদের সমষ্টি = S_n \( = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

অনুসৃত সূত্র:

\({S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

n = 10

গণনা:

প্রদত্ত ক্রমটি বিবেচনা করে 

16, 32, 64, 128, ......

\({S_{10}} = \frac{{16\left( {{2^{10}} - 1} \right)}}{{2 - 1}}\)

⇒ S₁₀ = 16 × 1023 = 16368

প্রদত্ত:

গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ = 15

গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ অনুপাত = 4

অনুসৃত সূত্র:

\(S_n=a_1\times \dfrac{(r^n-1)}{(r-1)}\)

গণনা:

\(S_4=15\times \dfrac{(4^4-1)}{(4-1)}\) \(= \dfrac{15\times 255}{3} = 1275\)

∴ সঠিক উত্তর হল 1275

প্রদত্ত:

ক্রমটি হল 4, 12, 36, 108

অনুসৃত ধারণা:

গুণোত্তর প্রগতিতে

a_n = a₁{r^{(n - 1)}}

এখানে,

a_n = নবম পদ

a₁ = প্রথম পদ

r = সাধারণ অনুপাত

n = পদের সংখ্যা

গণনা:

প্রশ্ন অনুসারে:

a₁ = 4

a₂ = 12

সুতরাং, a₁ : a₂ = 4 : 12 এর সাধারণ অনুপাত

⇒ 1 : 3

সুতরাং,

a₆ = 4 × 3^{(6 - 1)}

⇒ a₆ = 4 × 3⁵

⇒ a₆ = 4 × 243

⇒ a₆ = 972

সুতরাং, ক্রমটির ষষ্ঠ পদটি হল = 972

∴ এই ক্রমটির ষষ্ঠ পদটি হল 972;

প্রদত্ত:

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

অনুসৃত সূত্র:

এটি একটি গুণোত্তর প্রগতি।

a = প্রথম পদ, r = সাধারণ অনুপাত

গুণোত্তর প্রগতির যোগফল = [a(rn - 1)/(r - 1)]

গণনা:

a = 1

r = (22/20) = 4/1 = 4

⇒ ক্রমের যোগফল = [1 × (45 - 1)/(4 - 1)]  × 3

⇒ ক্রমের যোগফল = [1 × (210 - 1)/(3)]  × 3

⇒ ক্রমের যোগফল = [1 × (1024 - 1)]  

⇒ ক্রমের যোগফল = [1 × (1023)]  

⇒ ক্রমের যোগফল = 1023

∴ প্রদত্ত ক্রমের যোগফল 1023

Alternate Method

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

⇒ (1 + 4 + 16 + 64 + 256) × 3

⇒ 341 × 3 = 1023

∴ প্রদত্ত ক্রমের যোগফল 1023

ধারণা:

গুণোত্তরীয় মধ্যক: যে মান দ্বারা কোনো সংখ্যার সেটের মানগুলির গুণফল ব্যবহার করে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বা সেন্ট্রাল টেন্ডেন্সি নির্দেশ করা হয়।

সূত্র: GM (গুণোত্তরীয় মধ্যক) = (কোনো সেটের সমস্ত সংখ্যার গুণফল)^1/n

যেখানে, n = সেটে উপস্থিত মোট মানের সংখ্যা

উদাহরণ: 2, 3, 4, 5

GM = (2 × 3 × 4 × 5)^1/4 = (120)^1/4

গণনা:

সূত্র:

a এবং b এর গুণোত্তরীয় মধ্যক = √ab

প্রদত্ত:

a = 9, b = 81, x = গুণোত্তরীয় মধ্যক

গণনা:

x = √729

⇒ x = 27

প্রদত্ত:

7, 72, 73, _________ 7n

অনুসৃত ধারণা:

a এবং b দুটি সংখ্যার গুণোত্তরীয় মধ্যক = √ab

গণনা:

গুণোত্তরীয় মধ্যক = ⁿ√(a¹.aⁿ)

​⇒ ⁿ√(7, 7² , .....7ⁿ) এর গুণোত্তরীয় মধ্যক

​⇒ ⁿ√7^{n(n + 1)/2}

​⇒ (7n(n + 1)/2)^1/n

​⇒ \(7^\frac{n +1}{2}\)

∴ আবশ্যকীয় উত্তর হল \(7^\frac{n +1}{2}\)

প্রদত্ত

জ্যামিতিক গড় = 8

হারমোনিক গড় = 6.4

সূত্র ব্যবহার করে

জ্যামিতিক গড় = √ab

হারমোনিক গড় = 2ab/(a + b)

গননা

ধরা যাক সংখ্যা দুটি হল x এবং y 

√xy = 8

⇒ xy = 64 ---(i)

আমরা আরও জানি, 2xy/(x + y) = 6.4

⇒ x + y = 20 ---(ii)

(i) এবং (ii) থেকে

⇒ 64/y + y = 20

⇒ y ² - 20y + 64 = 0

⇒ y = 4, 16

সুতরাং, x = 16 এবং y = 4

∴ প্রয়োজনীয় উত্তর হল 4, 16

প্রদত্ত:

\(\frac{5}{13} + \frac{55}{13^2} + \frac{555}{13^3} +\)

অনুসৃত সূত্র:

অসীম G.P এর সমষ্টি = a/(1 – r)

গণনা:

ধরি S = \(\frac{5}{13} + \frac{55}{13^2} + \frac{555}{13^3} +\).....(1)

এখন, উভয় পক্ষকে 1/13 দ্বারা গুণ করার পর, আমরা পাই

⇒ 1/13s = 5/13² + 55/13³ ....(2)

(1) থেকে (2) কে বিয়োগ করার পর

⇒ s – 1/13s = [5/13 + 55/13² + 555/13³ + ....] – [5/132 + 55/133 +....]

⇒ 12s/13 = 5/13 + [55/13² – 5/13²] + (555/13³ – 55/13³) + .....

⇒ 12s/13 = 5/13 + 50/13² + 500/13³ + ....

এখন,

এখানে ডানপক্ষ হল একটি অসীম G.P. প্রথম পদ a = 5/13 এবং সাধারণ অনুপাত (r) = 10/13 সহ

সুতরাং,  

⇒ 12s/13 = 5/13/(1 – 10/13)

⇒ 12s/13 = 5/13/(13 – 10)/13

⇒ 12s/13 = (5/13)/(3/13)

⇒ 12s/13 = (5/13 × 13/3)

⇒ 12s/13 = 5/3

⇒ s = (13 × 5)/(12 × 3)

⇒ s = 65/36

∴ আবশ্যকীয় মান হল 65/36

প্রদত্ত:

প্রথম পদ (a) = 14

সাধারণ অনুপাত(r) = 5

অনুসৃত সূত্র:

n পদের যোগফল = \(a\times \dfrac{(r^n -1)}{(r-1)} \)

গণনা:

Sn = \(a\times \dfrac{(r^n -1)}{(r-1)} \)

⇒ \(14\times \dfrac{(5^5-1)}{(5-1)}\)

⇒ \(14\times \dfrac{3124}{4}\) = 10934

∴ সঠিক উত্তর হল 10934