निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?

व्याख्या:

इस प्रकार की समस्याओं के लिए, उपयुक्त प्रति-उदाहरण लेकर दिए गए विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1) के लिए, मान लीजिए n = 16 तब

(n - 1)! + 3 = 15! + 3 = सम + विषम = विषम

⇒ कोई भी सम पूर्णांक इसे अर्थात (n - 1)! + 3 को विभाजित करता है। 

⇒ विकल्प (1) असत्य है। (क्योंकि सभी के लिए सत्य नहीं है)

विकल्प (2) के लिए, n = 17 लीजिए, तब

∵ (n - 1)! = 16! , यहाँ n = 17 अभाज्य है इसलिए यह कभी भी 16! को विभाजित नहीं करेगा।

⇒ विकल्प (2) असत्य है।

विकल्प (4) के लिए, n = 16 लीजिए, तब n² = 16² + n! + 1 = 16 ! + 1 यहाँ 16² सम है जबकि 16! + 1 विषम पूर्णांक है इसलिए 16² + 16! + 1 है। 

⇒ विकल्प (4) असत्य है।

विकल्प (3) सत्य है [किसी भी n ≥ 16 सम पर विचार करें]

नोट: इस विकल्प के लिए प्रमाण बहुत लंबा है, इसलिए केवल उदाहरण से समझने का प्रयास करें।

\(=\frac{p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_n^{r_n}}{p_1^{r_1-1} \cdot\left(p_1-1\right) \cdot p_2^{r_2-1}\left(p_2-1\right) \ldots p_n^{r_{n-1}}\left(p_{n-1}\right)}\)

\(=\frac{p_1 p_2 \cdots p_n}{\left(p_1-1\right)\left(p_2-1\right) \cdots\left(p_n-1\right)}\) = पूर्णांक (दिया गया) = p/n¹/n

∵ (p₁ - 1) x p₁ ⇒ ∃ कोई अन्य अभाज्य p₂ ऐसा है कि (p₁ - 1)|p₂

लेकिन ∵ p₂ भी एक अभाज्य है, इसलिए 1 को छोड़कर किसी भी पूर्णांक से विभाज्य नहीं है।

(एक अभाज्य गुणनखंड 2 है, तो n अधिकतम दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों के रूप में है अन्यथा एक।)

इस प्रकार, विकल्प (3) सत्य है।