$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज

Question

Question

आने वाले दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए:

मान लीजिए $(x + y)^{p + q} = x^{p} y^{q}$ , जहाँ $p, q$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

This question was previously asked in

NDA-I (Mathematics) Official Paper (Held On: 13 Apr, 2025)

Answer 1

गणना:

दिया गया है,

$(x+y)^{p+q} = x^p\,y^q$

$x$ के संबंध में अंतर्निहित रूप से अवकलन करते हैं:

$(p+q)(x+y)^{p+q-1}\bigl(1+\tfrac{dy}{dx}\bigr) = p\,x^{p-1}y^q \;+\; q\,x^p\,y^{q-1}\tfrac{dy}{dx}$

$\tfrac{dy}{dx}$ एकत्रित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

$\tfrac{dy}{dx}\bigl[(p+q)(x+y)^{p+q-1} - q\,x^p\,y^{q-1}\bigr] = p\,x^{p-1}y^q - (p+q)(x+y)^{p+q-1}$

सरलीकरण के लिए $(x+y)^{p+q-1}=\frac{x^p\,y^q}{x+y}$ प्रयोग करते हैं:

$\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{y}{x}$

∴ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ , $p$ और $q$ से स्वतंत्र है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है।

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