यदि P, Q और R भौतिक राशियाँ हैं, जिनके अलग-अलग आयाम हैं, तो नीचे दिए गए गणितीय संक्रियाओं में से कौन-सी भौतिक रूप से कभी भी सार्थक नहीं हो सकती है?

अवधारणा:

भौतिक राशियाँ और विमाएँ

• भौतिक राशियाँ किसी निकाय के गुण या लक्षण होते हैं जिन्हें मापा जा सकता है या अन्य मापों से गणना की जा सकती है।
• प्रत्येक भौतिक राशि की एक विमा होता है जिसे मूल विमाओं (द्रव्यमान, लंबाई, समय, आदि) के संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• भौतिक राशियों से जुड़े गणितीय संक्रिया के भौतिक रूप से सार्थक होने के लिए, राशियों के संगत विमाएँ होने चाहिए।

व्याख्या:

• आइए दिए गए विकल्पों की जाँच करें:
  • विकल्प 1: (P-Q)/R
    • इस संक्रिया के सार्थक होने के लिए, P और Q के समान विमाएँ होनी चाहिए क्योंकि केवल समान विमा वाली राशियों को ही घटाया जा सकता है। यदि P और Q की समान विमाएँ हैं, तो (P-Q) की विमाएँ P (या Q) के समान होगी, लेकिन दिया गया है कि P और Q की अलग-अलग विमाएँ हैं, इस प्रकार यह सार्थक राशि नहीं हो सकती है।
  • विकल्प 2: PQ-R
    • इस संक्रिया के सार्थक होने के लिए, PQ और R के समान विमाएँ होनी चाहिए। PQ, P और Q के गुणनफल को दर्शाता है, इसलिए PQ की विमाएँ P और Q के आयामों का गुणनफल हैं। जब तक कि R की विमाएँ PQ के समान न हो।
  • विकल्प 3: PQ/R
    • यह संक्रिया सार्थक है यदि PQ की विमाएँ R की विमाओं के साथ संगत हैं। विशेष रूप से, PQ की विमाएँ R की विमाओं के बराबर होने चाहिए। इसका अर्थ है कि P की विमाओं को Q की विमाओं से गुणा करने पर R की विमाएँ प्राप्त होने चाहिए।
  • विकल्प 4: (PR - Q²)/R
    • इस संक्रिया के सार्थक होने के लिए, PR और Q² के समान विमाएँ होनी चाहिए। चूँकि Q², Q को स्वयं से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, इसकी विमाएँ Q की विमाओं का वर्ग हैं। PR, P और R के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए इसके आयाम P और R की विमाओं का गुणनफल हैं। इसके अतिरिक्त, (PR - Q²)/R विमीय रूप से सुसंगत होना चाहिए।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1: (P-Q)/R है।