Question
Download Solution PDFमार्कोव श्रृंखला X0, X1, X2, .... पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि S है।
i, j ∈ S दो ऐसी अवस्थाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ संचार करती हैं। निम्न में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या
मान लीजिए
चूँकि 'i' और 'j' एक-दूसरे के साथ संचार करते हैं अर्थात i ⇔ j
इसलिए, 'i' और 'j' एक ही वर्ग में हैं।
(स्मरण करें: यदि 'i' और 'j' के @ एक ही वर्ग में हैं, तो)
'i' का आवर्तकाल = 'j' का आवर्तकाल
'i' पुनरावृत्त है यदि और केवल यदि 'j' पुनरावृत्त है।
(b) सीमांत बंटन
\(\lim _{n →\infty} P_{i j}^{(n)}=\lim_{n → \infty} P_{j j}^{(n)}=π\)j ← 'i' से स्वतंत्र है।
अतः परिणाम @ R(b) द्वारा, विकल्प (1), (2) (4) सही हैं।
इसलिए, केवल विकल्प (3) शेष है [हमें यह जाँचना होगा कि यह कथन गलत है]
विकल्प (3) के लिए औचित्य (कैसे गलत है?)
\(\lim _{n → \infty} P\left(x_n=i \mid x_0=k\right)=\lim _{n → \infty} P\left(x_n=j \mid x_0=k\right) \quad \forall k ∈ S\)
\( { ie } \operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k i}^{(n)}=\operatorname{lt}_{n → \infty} P_{k j}^{(n)} \Rightarrow π_i=π_j .\)
जो सत्य होना आवश्यक नहीं है
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
\(let s=\{1,2,3\}, P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2\end{array}\right]\)
i = 1, j = 2 ; k = 3 लीजिए,
यहाँ, i और j संचारित अवस्थाएँ हैं।
मान लीजिए, π = (π1, π2, π3) → π सीमांत बंटन है।
(यह π = πp को संतुष्ट करता है और π1 + π2 + π3 = 1)
अब π = πP ⇒ [π1 π2 π3] = [π1 π2 π3]\(\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 & 1 / 2 \end{array}\right]\)
\(=\left[\frac{π_2+π_3}{2}, \frac{π_2}{2}, \frac{π_1+π_2+π_3}{2}\right]\)
\(\Rightarrow π_1=\frac{π_2+π_3}{2}, \quad π_2=\frac{π_1}{2}\)
\(\quad π_3=\frac{π_1+π_2+π_3}{2}=\frac{1}{2}\)
\(=\frac{π / 2+1 / 2}{2}\)
\(\begin{gathered} \Rightarrow π_2=2 π_1-1 / 2 \quad \& π_2=π_{1 / 2} \\ \Rightarrow 2 π_1-1 / 2=π_1 / 2 \\ \Rightarrow \frac{3 π_1}{2}=1 / 2 \Rightarrow π_1=1 / 3 \\ \Rightarrow π_2=1 / 6 \\ \Rightarrow π_1=\frac{1}{3}, π_2=1 / 6, π_3=1 / 2 \end{gathered}\)
∵ π1 ≠ π2
∵ π1 ≠ π2 k = 3 ∈ S के लिए
विकल्प (3) गलत है।
Last updated on Jul 8, 2025
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