वृत्तखण्ड पर प्रमेय MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 31, 2025
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वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 1:
निम्न दर्शाए गए वृत्त में, वृत्त की सबसे बड़ी जीवा की लंबाई (सेमी में) ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 1 Detailed Solution
AT = 6 सेमी, AB = 10 सेमी तथा TB = ?
∵ TB ┴ AT
समकोण △ATB में
पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा
(AB)2 = (AT)2 + (TB)2
⇒ (10)2 = 62 + (TB)2
⇒ TB = 8
वृत्त की त्रिज्या (r) TB है = 8 सेमी
हमें ज्ञात है कि व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है
इसलिए, d = 2r = 2 × 8 = 16
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 2:
प्रतिछेदित करने वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 12 सेमी है। यदि वृत्तों के व्यास 15 सेमी और 13 सेमी है, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी (सेमी में) कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
चूंकि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा समान जीवा को लंबवत रूप से प्रतिछेदित करती है।
गणना:
पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 15/2 और दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 13/2
उभयनिष्ट जीवा की लंबाई = AB = 12 सेमी
माना कि c = उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई/2 = 12/2 = 6
केंद्रों के बीच की दूरी को प्राप्त करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं
⇒ √((r1)2 - c2) + √((r2)2 – c2)
⇒ √{(7.5)2 - 62} + √{(6.5)2 – 62}
⇒ √20.25 + √6.25
⇒ 4.5 + 2.5 = 7 सेमी
∴ केंद्रों के बीच की दूरी 7 सेमी है।वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 3:
PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो क्रमशः 3 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों पर खींची जाती हैं। PA, X और Y पर क्रमशः छोटे और बड़े वृत्त को छूती है। PB, U और V पर क्रमशः छोटे और बड़े वृत्त को छूती है। छोटे और बड़े वृत्त के केंद्र क्रमशः O और N हैं। यदि ON = 12 सेमी है, तो PY का मान (सेमी में) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
छोटे वृत्त की त्रिज्या, r2 = 3 सेमी
बड़े वृत्त की त्रिज्या, r1 = 5 सेमी
दो वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी = 12 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
लंबाई अप्रत्यक्ष सार्वनिष्ठ स्पर्शज्या = √(D2 – (r1 – r2)2)
जहाँ, D → दो वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी
गणना:
ΔPOX तथा ΔPNY समरूप त्रिभुज हैं
⇒ OX : YN = 3 : 5
⇒ PX : PY = 3 : 5 (समरूप त्रिभुज)
⇒ XY = 2 इकाई
उभयनिष्ठ स्पर्शज्या सूत्र का उपयोग करके
लंबाई अप्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शज्या = √(D2 – (r1 – r2)2)
⇒ √(122 – (5 – 3)2)
⇒ √(144 – 4)
⇒ √140
⇒ √(35 × 4)
⇒ 2√35
⇒ 2 इकाई = 2√35
⇒ 5 इकाई = PY?
⇒ PY = (5 × 2√35)/2
⇒ PY = 5√35
∴ PY का मान 5√35 है
Confusion Points
इस प्रश्न को हल करते समय स्पर्शज्या PB, बिंदु U और V के बारे में दी गई जानकारी का उपयोग नहीं है, इसलिए हमने उन्हें चित्र में दर्शाया नहीं है।
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 4:
यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई 14 सेमी है, तो दोनों केंद्रों के बीच की दूरी है:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 8 सेमी
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 6 सेमी
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (L) = 14 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
केंद्रों के बीच की दूरी (d) =
गणनाएँ:
d =
⇒ d =
⇒ d =
⇒ d =
⇒ d = 14√2 सेमी
∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।
वैकल्पिक विधिदिया गया है:
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई = AB = 14 सेमी
दोनों केंद्रों के बीच की दूरी = D
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r1 = 8 सेमी, और r2 = 6 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
गणना:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∴ दोनों केंद्रों के बीच की दूरी 14√2 सेमी है।
वृत्तखण्ड पर प्रमेय Question 5:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
पहले वृत्त की त्रिज्या, r₁ = 5 सेमी
दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r₂ = 10 सेमी
वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी, d = 17 सेमी.
प्रयुक्त सूत्र:
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (L) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:
गणना:
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
L = √(289 - 225)
L = √64
L = 8 cm
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई 8 सेमी है।
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किसी वृत्त पर स्पर्शरेखाओं का एक युग्म खींचने के लिए, जो एक दूसरे से 75° के कोण पर झुकी हों, वृत्त की उन दो त्रिज्याओं के अंतिम बिंदुओं पर स्पर्शरेखाएँ खींचना आवश्यक है, जिनके बीच का कोण है-
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
त्रिज्या संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°
गणना:
PA और PB बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।
∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है)
अब, चतुर्भुज OAPB में,
∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°
75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
∠AOB = 105°
इस प्रकार, दो त्रिज्याओं, OA और OB के बीच का कोण 105° है।
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं AC और BD, 7 सेमी त्रिज्या वाले दो बराबर वृत्तों को क्रमशः बिन्दुओं A, C, B और D पर स्पर्श करती हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि BD की लंबाई 48 सेमी है, तो AC की लंबाई कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी
BD = दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = 48 सेमी
प्रयुक्त अवधारणा:
सीधी अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाओं की लंबाई = √(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के योग का वर्ग)
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई =√(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के बीच के अंतर का वर्ग)
गणना:
AC = सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई
BD = सीधी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं की लंबाई
माना, दो वृत्तों के बीच की दूरी = x सेमी है,
इसलिए, BD = √[x2 - (7 + 7)2]
⇒ 48 = √(x2 - 142)
⇒ 482 = x2 - 196 [दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं]
⇒ 2304 = x2 - 196
⇒ x2 = 2304 + 196 = 2500
⇒ x = √2500 = 50 सेमी
साथ ही, AC = √[502 - (7 - 7)2]
⇒ AC = √(2500 - 0) = √2500 = 50 सेमी
∴ BD की लंबाई 48 सेमी है, AC की लंबाई 50 सेमी है।
दो वृत्त बाह्यतः एक दूसरे को बिंदु X पर स्पर्श करते हैं। PQ दोनों वृत्तों के लिए सामान्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है जो वृत्तों को बिंदु P और बिंदु Q पर स्पर्श करती है। यदि वृत्तों की त्रिज्या R और r हैं, तब PQ2 ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDF
हम जानते हैं,
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d2 - (R - r)2]
जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]
⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]
⇒ PQ = √4Rr
⇒ PQ2 = 4Rr
दी गई आकृति में, जीवा AB और CD बिंदु L पर एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x
प्रयुक्त सूत्र:
LC × LD = LB × AL
गणना:
प्रश्न के अनुसार
LC × LD = LB × AL
6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)
⇒ 4 + x = 51/2
⇒ 4 + x = 25.5
⇒ x = AB = 21.5
∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।
PA और PB एक वृत्त जिसका केंद्र O है, के बाहर एक बिंदु P से दो स्पर्शरेखाएँ हैं। यदि A और B वृत्त पर इस प्रकार बिंदु हैं कि ∠APB = 100°, तो ∠OAB बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया है:
∠APB = 100°
O वृत्त का केंद्रबिंदु है।
PA और PB वृत्त पर, एक बिंदु P से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ हैं
प्रयुक्त सिद्धांत:
एक वृत्त की स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण बनाती है।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° है।
गणना:
एक वृत्त की स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण बनाती है
⇒ ∠OAP = ∠OBP = 90°
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° है
⇒ ∠OAP + ∠OBP + ∠APB + ∠AOB = 360°
⇒ 90° + 90° + 100° + ∠AOB = 360°
⇒ ∠AOB = 360° - 280°
⇒ ∠AOB = 80°
ΔAOB में
⇒ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°
⇒ 80° + x + x = 180°
⇒ 2x = 100°
⇒ x = 50°
∴ ∠OAB का मान 50° है।
दिए गए चित्र में, O वृत्त का केंद्र है तो OP||QR है, QR वृत्त की स्पर्श-रेखा है और OP = 6 सेमी है, ∆OPR का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFOP||QR (दिया है)
⇒ बिंदु P को बिंदु S तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि QR = OS
अतः आयत QRSO का निर्माण होता है
⇒ OQ = SR = 6 सेमी (∆OPR की ऊंचाई)
⇒ OP = 6 सेमी = ∆OPR का आधार
⇒ ∆OPR का क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 6 = 18 सेमी2
दी गयी आकृति में ∠BOQ = 60° है और AB वृत्त का व्यास है। ∠ABO का मान ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रमेय के अनुसार, अर्द्ध वृत्त में कोण समकोण होता है,
⇒ ∠BOA = 90°
प्रमेय: वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार संपर्क बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
चूँकि, त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° होता है
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 60° – 90° = 30°
नीचे दिए गए वृत्त में, जीवा AB को D पर स्पर्शरेखा DC से मिलाने के लिए बढ़ाया जाता है। यदि AB = 12 सेमी और DC = 8 सेमी हो, तो BD की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFजीवा स्पर्शरेखा प्रमेय के अनुसार,
⇒ CD2 = AD × BD
⇒ 8 × 8 = (12 + BD) × BD
⇒ 12BD + BD2 = 64
⇒ BD2 + 16BD – 4BD – 64 = 0
⇒ BD(BD + 16) – 4(BD + 16) = 0
∴ BD = 4 सेमी
नीचे दिये गए वृत्त में जीवा
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
स्पर्शरेखा छेदक प्रमेय के अनुसार
DE2 = DB × DA
गणना:
DB × DA = DE2
⇒ DB × (5 + DB) = 62
⇒ DB × (5 + DB) = 36
⇒ 5DB + DB2 = 36
⇒ DB2 + 5DB - 36 = 0
उपरोक्त द्विघात समीकरण को हल करने पर,
DB = (-9) या DB = 4
चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, DB = 4 सेमी
∴ DB की लंबाई 4 सेमी है।
Shortcut Trick
DB × (5 + DB) = 36
विकल्पों की जाँच करके हम इस समीकरण को कम समय में हल कर सकते हैं
इस प्रकार, विकल्प 03 समीकरण को संतुष्ट करता है
∴ DB की लंबाई 4 सेमी है।
एक वृत्त त्रिभुज ΔABC के परिगत है। O वृत्त का केंद्र है और CP वृत्त के बिंदु C पर स्पर्शरेखा है। यदि BC, ∠OCP को द्विविभाजित करती है, तो ∠BAC का संपूरक कोण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFजैसा कि हम जानते हैं,
⇒ ∠OCP = 90° (स्पर्शरेखा)
⇒ BC, ∠OCP को द्विविभाजित करती है
∠OCB = ∠OBC = 45° [OB = OC]
ΔBOC में,
⇒ ∠OCB + ∠OBC + ∠BOC = 180°
⇒ ∠BOC + 45° + 45° = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 90° = 90°
⇒ ∠BAC = 1/2 × ∠BOC = (1/2) × 90° = 45°
जैसा कि हम जानते हैं,
दो सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है।
माना ∠BAC का पूरक कोण x है, तो
⇒ x + ∠BAC = 180°
⇒ x = 180° – 45° = 135°