Tests of Hypotheses MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Tests of Hypotheses - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 11, 2025

पाईये Tests of Hypotheses उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Tests of Hypotheses MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Tests of Hypotheses MCQ Objective Questions

Tests of Hypotheses Question 1:

5 यादृच्छिक रूप से चयनित संरचनाओं से कंक्रीट की अपरूपण सामर्थ्य पर अवलोकन नीचे दिए गए हैं:

संरचना 1 2 3 4 5
अपरूपण सामर्थ्य 1718.4 1787.4 2562.3 2356.9 2153.2

शून्य परिकल्पना H 0 कि औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाई है, का परीक्षण वैकल्पिक परिकल्पना H 1 के विरुद्ध किया जाता है कि औसत अपरूपण सामर्थ्य 5% महत्व स्तर पर 2000 इकाई से अधिक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

  1. संकेत परीक्षण का p-मान 0.04 है
  2. H को संकेत परीक्षण द्वारा 5% महत्व के स्तर पर अस्वीकृत नहीं किया गया है
  3. विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण सांख्यिकी W + का प्रेक्षित मान 10 के बराबर है
  4. यदि P H0 (W + ≥ 14) = 0.06, तो A, को विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण द्वारा 5% महत्व के स्तर पर खारिज कर दिया जाता है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 1 Detailed Solution

अवधारणा:

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण :

उद्देश्य : इस परीक्षण का उपयोग युग्मित डेटा के माध्यिकाओं में अंतर का पता लगाने या यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या एकल नमूने का माध्यिका निर्दिष्ट मान से भिन्न है।

  • प्रत्येक अवलोकन और परिकल्पित माध्यिका (2000 इकाई) के बीच अंतर की गणना करें

  • इन अंतरों के निरपेक्ष मान लें और उन्हें सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करें।

  • रैंकों को मूल चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) प्रदान करें

  • धनात्मक रैंक ( W + ) का योग और ऋणात्मक रैंक ( W - ) का योग की गणना करें

  • परीक्षण का आंकड़ा यह है इन दो राशियों में से छोटी राशि है। 

 

स्पष्टीकरण:

कंक्रीट की अपरूपण सामर्थ्य पर अवलोकन:

[1718.4, 1787.4, 2562.3, 2356.9, 2153.2]

शून्य परिकल्पना : औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाई है।

वैकल्पिक परिकल्पना औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाइयों से अधिक है।

यह परीक्षण 5% सार्थकता स्तर पर आयोजित किया जाता है।

संकेत परीक्षण प्रत्येक अवलोकन की तुलना परिकल्पित माध्यिका (इस मामले में 2000) से करता है। यदि अवलोकन

यदि 2000 से अधिक है, तो हम "+" चिन्ह लगाते हैं; यदि 2000 से कम है, तो हम "-" चिन्ह लगाते हैं।

दिए गए अवलोकन इस प्रकार हैं:

[1718.4, 1787.4, 2562.3, 2356.9, 2153.2]

2000 से तुलना:

1718.4: - ,1787.4: - , 2562.3: + , 2356.9: + , 2153.2: +

इसमें 3 धनात्मक चिह्न और 2 ऋणात्मक चिह्न हैं।

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण के लिए, हम प्रत्येक अवलोकन और के बीच पूर्ण अंतर की गणना करते हैं

2000, इन अंतरों को रैंक करें, और संबंधित संकेत निर्दिष्ट करें

1. (रैंक 1)

2. |1787.4 - 2000| = 212.6 (रैंक 2)

3. |2562.3 - 2000| = 562.3 (रैंक 5)

4. |2356.9 - 2000| = 356.9 (रैंक 4)

5. |2153.2 - 2000| = 153.2 (रैंक 3)

अब चिह्न निर्दिष्ट करें:

-281.6 : रैंक 1 (−)

-212.6 : रैंक 2 (−)

+562.3 : रैंक 5 (+)

+356.9 : रैंक 4 (+)

+153.2 : रैंक 3 (+)

धनात्मक अंतर के अनुरूप रैंकों का योग है

ऋणात्मक अंतर अनुरूप रैंकों का योग है

चूँकि परीक्षण एक-पूच्छीय है, इसलिए परीक्षण सांख्यिकी है।

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित-रैंक परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण मान तालिका का उपयोग करते हुए (डेटा के 5 जोड़े और एक-पुच्छीय परीक्षण के लिए 5% महत्व स्तर पर),

हम परीक्षण सांख्यिकी तुलना महत्वपूर्ण मान से करते हैं।

आमतौर पर, 5 जोड़ों और 5% सार्थकता स्तर के लिए, एक-पुच्छीय परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण मान लगभग 10 होता है।

विकल्प 1 : संकेत परीक्षण के लिए p-मान 0.04 नहीं है। सही p-मान की गणना की आवश्यकता होगी, लेकिन विश्लेषण से,

यह 0.04 नहीं है। इसलिए, विकल्प 1 गलत है।

विकल्प 2:संकेत परीक्षण के आधार पर, 3 धनात्मक और 2 ऋणात्मक मान हैं। 5% महत्व स्तर पर, केवल 5 डेटा बिंदुओं के साथ,

हम तब तक अस्वीकार नहीं करते जब तक कि p-मान बहुत छोटा न हो। इस प्रकार, विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3: विलकॉक्सन साइन-रैंक परीक्षण से हमारी गणना के आधार पर का प्रेक्षित मान वास्तव में 10 है। विकल्प 3 सत्य है।

विकल्प 4: कथन में 0.06 का महत्व स्तर निहित है, लेकिन यदि , तो हमारे द्वारा गणना की गई रैंक के अनुसार यह गलत है।

अतः विकल्प 4 गलत है।


सही विकल्प 2) और 3) हैं।

Tests of Hypotheses Question 2:

मान लीजिए X1, X2 एक जनसंख्या से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन f ∈ { f0, f1} है जहाँ

शून्य परिकल्पना H0 : f = f0 का वैकल्पिक परिकल्पना H1 : f = f1 के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए, आकार α = 0.05 के सबसे शक्तिशाली परीक्षण की शक्ति किसके बराबर है?

  1. 0.4625
  2. 0.5425
  3. 0.7625
  4. 0.6225

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0.7625

Tests of Hypotheses Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए संभाविता अनुपात और है



जहाँ और क्रमशः और के अंतर्गत घनत्व हैं।

व्याख्या:



हम शून्य परिकल्पना का वैकल्पिक परिकल्पना के विरुद्ध परीक्षण कर रहे हैं।

परीक्षण की शक्ति की गणना करने के चरण:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों और के लिए संभाविता अनुपात है

किसी दिए गए आकार के लिए सबसे शक्तिशाली परीक्षण को अस्वीकार कर देगा जब संभावना अनुपात

काफी छोटा हो। अस्वीकृति क्षेत्र को हल करके निर्धारित किया जाता है

जो संभाविता अनुपात के लिए क्रांतिक मान देता है।

परीक्षण की शक्ति को अस्वीकार करने की प्रायिकता है जब सत्य है, जो निम्न द्वारा दिया गया है

इसके लिए अस्वीकृति क्षेत्र पर के अंतर्गत घनत्व को समाकलित करने की आवश्यकता होती है।

गणना (या तो विश्लेषणात्मक रूप से या अभिकलनात्मक उपकरणों का उपयोग करके) से,

परीक्षण की शक्ति 0.7625 निर्धारित की जाती है

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।

Tests of Hypotheses Question 3:

मान लीजिये कि शून्य परिकल्पना H के अंतर्गत, Y एक γ बंटन का पालन करता है, जहाँ γ(y) = P(Y = y) = 1/15, y के लिए {1, 2, ..., 15} में। वैकल्पिक परिकल्पना G के अंतर्गत, Y एक ρ बंटन का पालन करता है जहाँ ρ(y) = P(Y = y) = y/120, y के लिए {1, 2, ..., 15} में। H के विरुद्ध G का परीक्षण करने के लिए दो परीक्षण फलन α और β परिभाषित हैं, इस प्रकार:

α(y) = {1, यदि y ≤ 2, और 0, अन्यथा} और β(y) = {1, यदि y ≥ 14, और 0, अन्यथा}.

तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?

  1. परीक्षण फलन α का शक्ति β से अधिक है।
  2. परीक्षण फलन β α की तुलना में उच्च प्रकार I त्रुटि देता है।
  3. परीक्षण फलन α शून्य परिकल्पना के सही होने पर उसकी पहचान करने की अधिक संभावना रखता है।
  4. परीक्षण फलन β वैकल्पिक परिकल्पना के सही होने पर उसकी पहचान करने की अधिक संभावना रखता है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 3 Detailed Solution

व्याख्या -

विकल्प (1) - यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

किसी परीक्षण की शक्ति वैकल्पिक वितरण पर निर्भर करती है, और इस मामले में, 2 से कम मान 14 से अधिक मानों की तरह ही संभावित हैं (दोनों बहुत छोटी प्रायिकताएँ)। दोनों परीक्षण कार्यों के बीच शक्ति में अंतर निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है।

विकल्प (2) - यह असत्य है।

डिज़ाइन द्वारा, परीक्षण फलन α शून्य परिकल्पना (2 से कम या उसके बराबर सब कुछ) के अंतर्गत β (14 या उससे अधिक सब कुछ) की तुलना में अधिक मानों को अस्वीकार करता है।

इसलिए, α में उच्च प्रकार I त्रुटि है।

विकल्प (3) - यह सत्य है।

चूँकि β शून्य के अंतर्गत y के 14 से ऊपर होने पर अस्वीकार करता है, जबकि α y के 2 से कम या उसके बराबर होने पर अस्वीकार करता है,

α शून्य को गलत तरीके से अस्वीकार करने की संभावना कम है (जिसका अर्थ है कि इसे सही ढंग से स्वीकार करने की अधिक संभावना है) क्योंकि इसका अस्वीकृति क्षेत्र शून्य के अंतर्गत कम संभावित मानों को कवर करता है।

विकल्प (4) - यह सत्य है।

वैकल्पिक परिकल्पना के अंतर्गत, बड़े मान अधिक संभावित हैं।

इस प्रकार, β, जो y के बड़े मानों के लिए अस्वीकार करता है, y की ओर एक बदलाव की सही पहचान करने और इस प्रकार शून्य को सही ढंग से अस्वीकार करने की अधिक संभावना रखता है।

इसलिए विकल्प 3 और 4 सत्य हैं।

Tests of Hypotheses Question 4:

मान लीजिये कि शून्य परिकल्पना H के अंतर्गत, X ∼ p, जहाँ p(x) = P(X = x) = 1/30, x ∈ {1, 2, … 30} और वैकल्पिक परिकल्पना K के अंतर्गत, X ∼ q जहाँ q(x) = P(X = x) = x/900, x ∈ {1, 2, … 30} है। H और K के परीक्षण के लिए दो परीक्षण फलन ϕ और ψ को परिभाषित कीजिये, इस प्रकार:

ϕ(x) = {1, यदि x ≤ 3, और 0, अन्यथा} और ψ(x) = {1, यदि x ≥ 28, और 0 अन्यथा}.

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

  1. H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ϕ(x), ψ(x) से अधिक शक्तिशाली है।
  2. H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ψ(x), ϕ(x) से अधिक शक्तिशाली है।
  3. परीक्षण ϕ(x) के लिए क्रांतिक क्षेत्र {1,2,3} है।
  4. H और K में अंतर करने के लिए दोनों परीक्षण ϕ(x) और ψ(x) समान शक्ति के हैं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 4 Detailed Solution

व्याख्या -

(i) H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ϕ(x), ψ(x) से अधिक शक्तिशाली है।

यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। एक परीक्षण की शक्ति उसकी क्षमता पर निर्भर करती है कि जब वैकल्पिक परिकल्पना सत्य हो तो शून्य परिकल्पना को सही ढंग से अस्वीकार किया जाए। K के अंतर्गत वितरण धनात्मक रूप से विषम है, इसलिए x के बड़े मानों की उच्च संभावनाएँ हैं। इसलिए, ψ, जो इस पूँछ पर विचार करता है, H और K में अंतर करने में ϕ से अधिक शक्तिशाली होना चाहिए।

(ii) H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ψ(x), ϕ(x) से अधिक शक्तिशाली है।

यह सत्य होना चाहिए उपरोक्त तर्क के आधार पर। परीक्षण ψ(x) जो x के उच्च मानों - जिन मानों की q(x) के अंतर्गत उच्च संभावनाएँ हैं - पर लक्षित करता है, दो परिकल्पनाओं के बीच अंतर करने में अधिक प्रभावी होना चाहिए।

(iii) परीक्षण ϕ(x) के लिए क्रांतिक क्षेत्र {1,2,3} है।

यह सत्य है। परिभाषा के अनुसार, ϕ(x) का क्रांतिक क्षेत्र उन सभी x का समुच्चय है जिनके लिए हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, इसलिए ϕ के लिए, क्रांतिक क्षेत्र वास्तव में {1,2,3} है।

(iv) H और K में अंतर करने के लिए दोनों परीक्षण ϕ(x) और ψ(x) समान शक्ति के हैं।

यह सत्य होने की संभावना नहीं है, कथन B में दिए गए तर्क को देखते हुए। परीक्षण ψ(x) अधिक शक्तिशाली होना चाहिए क्योंकि यह K के अंतर्गत वितरण के पूँछ मानों पर विचार करता है।

इसलिए, सही कथन (ii) और (iii) हैं

Tests of Hypotheses Question 5:

X एक असतत यादृच्छिक चर है जो समुच्चय {-2, -1, 1, 2} पर परिभाषित है, जिसके प्रायिकता द्रव्यमान फलन Pθ[X = x], θ ∈ (θ0, θ1) नीचे दिए गए हैं

X -2 -1 1 2
θ = θ0 0.05 0.6 0.3 0.05
θ = θ1 0.2 0.4 0.2 0.2


H0 : θ = θ0 के विरुद्ध H1 : θ = θ1 का परीक्षण करने का उद्देश्य है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?

  1. क्रांतिक क्षेत्र {x = 2} वाला परीक्षण प्रक्रिया 0.05 आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण है
  2. क्रांतिक क्षेत्र {x = -2} वाला परीक्षण प्रक्रिया 0.05 आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण है
  3. क्रांतिक क्षेत्र {x = -1} वाला परीक्षण प्रक्रिया अपने आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण नहीं है
  4. क्रांतिक क्षेत्र {x = 1} वाला परीक्षण प्रक्रिया अपने आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 5 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 1, 2, 3 और 4 है

Top Tests of Hypotheses MCQ Objective Questions

मान लीजिए X1, X2 एक जनसंख्या से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन f ∈ { f0, f1} है जहाँ

शून्य परिकल्पना H0 : f = f0 का वैकल्पिक परिकल्पना H1 : f = f1 के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए, आकार α = 0.05 के सबसे शक्तिशाली परीक्षण की शक्ति किसके बराबर है?

  1. 0.4625
  2. 0.5425
  3. 0.7625
  4. 0.6225

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0.7625

Tests of Hypotheses Question 6 Detailed Solution

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संप्रत्यय:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए संभाविता अनुपात और है



जहाँ और क्रमशः और के अंतर्गत घनत्व हैं।

व्याख्या:



हम शून्य परिकल्पना का वैकल्पिक परिकल्पना के विरुद्ध परीक्षण कर रहे हैं।

परीक्षण की शक्ति की गणना करने के चरण:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों और के लिए संभाविता अनुपात है

किसी दिए गए आकार के लिए सबसे शक्तिशाली परीक्षण को अस्वीकार कर देगा जब संभावना अनुपात

काफी छोटा हो। अस्वीकृति क्षेत्र को हल करके निर्धारित किया जाता है

जो संभाविता अनुपात के लिए क्रांतिक मान देता है।

परीक्षण की शक्ति को अस्वीकार करने की प्रायिकता है जब सत्य है, जो निम्न द्वारा दिया गया है

इसके लिए अस्वीकृति क्षेत्र पर के अंतर्गत घनत्व को समाकलित करने की आवश्यकता होती है।

गणना (या तो विश्लेषणात्मक रूप से या अभिकलनात्मक उपकरणों का उपयोग करके) से,

परीक्षण की शक्ति 0.7625 निर्धारित की जाती है

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।

मानें कि X1, …, X7 तथा Y1, …, Y9 क्रमशः संतत CDFs वाली दो समष्टियां F तथा G से स्वतंत्र रूप से निकाले गए दो यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं। निम्न दो प्रतिदर्श परीक्षण समस्या के संदर्भ में वाल्ड-बुल्फोवित्स रन परीक्षण पर विचार करें: H0: F(x) = G(x) ∀ x vs. H1: F(x) ≠ G(x), किसी x के लिए। यदि याद्छिक चर R दिये गये दो प्रतिदर्शों के संयुक्त क्रमिक विन्यास के कुल रन (runs) की संख्या हो तो निम्न में से कौन सा सत्य है?

  1. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  2. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  3. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  4. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =

Tests of Hypotheses Question 7 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

Tests of Hypotheses Question 8:

मान लीजिए X1, X2 एक जनसंख्या से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन f ∈ { f0, f1} है जहाँ

शून्य परिकल्पना H0 : f = f0 का वैकल्पिक परिकल्पना H1 : f = f1 के विरुद्ध परीक्षण करने के लिए, आकार α = 0.05 के सबसे शक्तिशाली परीक्षण की शक्ति किसके बराबर है?

  1. 0.4625
  2. 0.5425
  3. 0.7625
  4. 0.6225

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0.7625

Tests of Hypotheses Question 8 Detailed Solution

संप्रत्यय:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए संभाविता अनुपात और है



जहाँ और क्रमशः और के अंतर्गत घनत्व हैं।

व्याख्या:



हम शून्य परिकल्पना का वैकल्पिक परिकल्पना के विरुद्ध परीक्षण कर रहे हैं।

परीक्षण की शक्ति की गणना करने के चरण:

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों और के लिए संभाविता अनुपात है

किसी दिए गए आकार के लिए सबसे शक्तिशाली परीक्षण को अस्वीकार कर देगा जब संभावना अनुपात

काफी छोटा हो। अस्वीकृति क्षेत्र को हल करके निर्धारित किया जाता है

जो संभाविता अनुपात के लिए क्रांतिक मान देता है।

परीक्षण की शक्ति को अस्वीकार करने की प्रायिकता है जब सत्य है, जो निम्न द्वारा दिया गया है

इसके लिए अस्वीकृति क्षेत्र पर के अंतर्गत घनत्व को समाकलित करने की आवश्यकता होती है।

गणना (या तो विश्लेषणात्मक रूप से या अभिकलनात्मक उपकरणों का उपयोग करके) से,

परीक्षण की शक्ति 0.7625 निर्धारित की जाती है

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।

Tests of Hypotheses Question 9:

मान लीजिये कि शून्य परिकल्पना H के अंतर्गत, Y एक γ बंटन का पालन करता है, जहाँ γ(y) = P(Y = y) = 1/15, y के लिए {1, 2, ..., 15} में। वैकल्पिक परिकल्पना G के अंतर्गत, Y एक ρ बंटन का पालन करता है जहाँ ρ(y) = P(Y = y) = y/120, y के लिए {1, 2, ..., 15} में। H के विरुद्ध G का परीक्षण करने के लिए दो परीक्षण फलन α और β परिभाषित हैं, इस प्रकार:

α(y) = {1, यदि y ≤ 2, और 0, अन्यथा} और β(y) = {1, यदि y ≥ 14, और 0, अन्यथा}.

तो निम्नलिखित में से कौन सा/से सत्य है/हैं?

  1. परीक्षण फलन α का शक्ति β से अधिक है।
  2. परीक्षण फलन β α की तुलना में उच्च प्रकार I त्रुटि देता है।
  3. परीक्षण फलन α शून्य परिकल्पना के सही होने पर उसकी पहचान करने की अधिक संभावना रखता है।
  4. परीक्षण फलन β वैकल्पिक परिकल्पना के सही होने पर उसकी पहचान करने की अधिक संभावना रखता है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 9 Detailed Solution

व्याख्या -

विकल्प (1) - यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

किसी परीक्षण की शक्ति वैकल्पिक वितरण पर निर्भर करती है, और इस मामले में, 2 से कम मान 14 से अधिक मानों की तरह ही संभावित हैं (दोनों बहुत छोटी प्रायिकताएँ)। दोनों परीक्षण कार्यों के बीच शक्ति में अंतर निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है।

विकल्प (2) - यह असत्य है।

डिज़ाइन द्वारा, परीक्षण फलन α शून्य परिकल्पना (2 से कम या उसके बराबर सब कुछ) के अंतर्गत β (14 या उससे अधिक सब कुछ) की तुलना में अधिक मानों को अस्वीकार करता है।

इसलिए, α में उच्च प्रकार I त्रुटि है।

विकल्प (3) - यह सत्य है।

चूँकि β शून्य के अंतर्गत y के 14 से ऊपर होने पर अस्वीकार करता है, जबकि α y के 2 से कम या उसके बराबर होने पर अस्वीकार करता है,

α शून्य को गलत तरीके से अस्वीकार करने की संभावना कम है (जिसका अर्थ है कि इसे सही ढंग से स्वीकार करने की अधिक संभावना है) क्योंकि इसका अस्वीकृति क्षेत्र शून्य के अंतर्गत कम संभावित मानों को कवर करता है।

विकल्प (4) - यह सत्य है।

वैकल्पिक परिकल्पना के अंतर्गत, बड़े मान अधिक संभावित हैं।

इस प्रकार, β, जो y के बड़े मानों के लिए अस्वीकार करता है, y की ओर एक बदलाव की सही पहचान करने और इस प्रकार शून्य को सही ढंग से अस्वीकार करने की अधिक संभावना रखता है।

इसलिए विकल्प 3 और 4 सत्य हैं।

Tests of Hypotheses Question 10:

मान लीजिये कि शून्य परिकल्पना H के अंतर्गत, X ∼ p, जहाँ p(x) = P(X = x) = 1/30, x ∈ {1, 2, … 30} और वैकल्पिक परिकल्पना K के अंतर्गत, X ∼ q जहाँ q(x) = P(X = x) = x/900, x ∈ {1, 2, … 30} है। H और K के परीक्षण के लिए दो परीक्षण फलन ϕ और ψ को परिभाषित कीजिये, इस प्रकार:

ϕ(x) = {1, यदि x ≤ 3, और 0, अन्यथा} और ψ(x) = {1, यदि x ≥ 28, और 0 अन्यथा}.

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

  1. H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ϕ(x), ψ(x) से अधिक शक्तिशाली है।
  2. H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ψ(x), ϕ(x) से अधिक शक्तिशाली है।
  3. परीक्षण ϕ(x) के लिए क्रांतिक क्षेत्र {1,2,3} है।
  4. H और K में अंतर करने के लिए दोनों परीक्षण ϕ(x) और ψ(x) समान शक्ति के हैं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 10 Detailed Solution

व्याख्या -

(i) H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ϕ(x), ψ(x) से अधिक शक्तिशाली है।

यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। एक परीक्षण की शक्ति उसकी क्षमता पर निर्भर करती है कि जब वैकल्पिक परिकल्पना सत्य हो तो शून्य परिकल्पना को सही ढंग से अस्वीकार किया जाए। K के अंतर्गत वितरण धनात्मक रूप से विषम है, इसलिए x के बड़े मानों की उच्च संभावनाएँ हैं। इसलिए, ψ, जो इस पूँछ पर विचार करता है, H और K में अंतर करने में ϕ से अधिक शक्तिशाली होना चाहिए।

(ii) H और K में अंतर करने के लिए परीक्षण ψ(x), ϕ(x) से अधिक शक्तिशाली है।

यह सत्य होना चाहिए उपरोक्त तर्क के आधार पर। परीक्षण ψ(x) जो x के उच्च मानों - जिन मानों की q(x) के अंतर्गत उच्च संभावनाएँ हैं - पर लक्षित करता है, दो परिकल्पनाओं के बीच अंतर करने में अधिक प्रभावी होना चाहिए।

(iii) परीक्षण ϕ(x) के लिए क्रांतिक क्षेत्र {1,2,3} है।

यह सत्य है। परिभाषा के अनुसार, ϕ(x) का क्रांतिक क्षेत्र उन सभी x का समुच्चय है जिनके लिए हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं, इसलिए ϕ के लिए, क्रांतिक क्षेत्र वास्तव में {1,2,3} है।

(iv) H और K में अंतर करने के लिए दोनों परीक्षण ϕ(x) और ψ(x) समान शक्ति के हैं।

यह सत्य होने की संभावना नहीं है, कथन B में दिए गए तर्क को देखते हुए। परीक्षण ψ(x) अधिक शक्तिशाली होना चाहिए क्योंकि यह K के अंतर्गत वितरण के पूँछ मानों पर विचार करता है।

इसलिए, सही कथन (ii) और (iii) हैं

Tests of Hypotheses Question 11:

मानें कि निराकरणीय परिकल्पना H के अन्तर्गत, X ∼ p हैं, जहां p(x) = P(X = x) = 1/20, x ∈ {1, 2, … 20} है, तथा वैकल्पिक परिकल्पना K के तहत, X ∼ q है, जहाँ q(x) = P(X = x) = x ∈ {1, 2, … 20} है। H को K के सापेक्ष परीक्षण करने के लिए दो परीक्षण-फलन ϕ एवं ψ इस प्रकार परिभाषित करें कि

ϕ(x) =

तथा

ψ(x) =

कौनसा कथन सत्य हैं?

  1. परीक्षण ϕ का आमाप 0.1 है।
  2. परीक्षण ψ का आमाप 0.0 .5 है।
  3. (परीक्षण ψ की क्षमता) > 0.05 हैं।
  4. (परीक्षण ψ की क्षमता) > (परीक्षण ϕ की क्षमता) है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 11 Detailed Solution

संकल्पना:

शून्य परिकल्पना H0 के सापेक्ष वैकल्पिक परिकल्पना H1 के परीक्षण के लिए परीक्षण W का आकार α = P(W | H0)

(ii) परीक्षण W की क्षमता या शून्य परिकल्पना H0 के सापेक्ष वैकल्पिक परिकल्पना H1 है β = P(W | H1)

व्याख्या:

दिया गया है

H: p = 1/20

K: p =

ϕ(x) = \(\begin{cases}1 & \text { if } \rm x ≤ 2 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\)

और

ψ(x) =

(1): P(X ≤ 2| H) = P(X = 1 | H) + P(X = 2 | H) = + = = 0.1

इसलिए परीक्षण ϕ का आमाप 0.1.है।

विकल्प (1) सही है

(2): P(X ≥ 19| H) = P(X = 19| H) + P(X = 20| H) = + = = 0.1

इसलिए परीक्षण ψ का आमाप 0.1 है।

विकल्प (2) सही नहीं है

(3): P(X ≥ 19 | K) = P(X = 19 | K) + P(X = 20 | K) = + = = 0.1857 > 0.05

इसलिए (परीक्षण ψ की क्षमता) > 0.05

विकल्प (3) सही है

(4): P(X ≤ 2 | K) = P(X = 1 | K) + P(X = 2 | K) = + = = 0.0143

जैसे 0.1857 > 0.0143

इसलिए (परीक्षण ψ की क्षमता) > ( परीक्षण ϕ की क्षमता).

विकल्प (4) सही है

Tests of Hypotheses Question 12:

मानें कि X1, …, X7 तथा Y1, …, Y9 क्रमशः संतत CDFs वाली दो समष्टियां F तथा G से स्वतंत्र रूप से निकाले गए दो यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं। निम्न दो प्रतिदर्श परीक्षण समस्या के संदर्भ में वाल्ड-बुल्फोवित्स रन परीक्षण पर विचार करें: H0: F(x) = G(x) ∀ x vs. H1: F(x) ≠ G(x), किसी x के लिए। यदि याद्छिक चर R दिये गये दो प्रतिदर्शों के संयुक्त क्रमिक विन्यास के कुल रन (runs) की संख्या हो तो निम्न में से कौन सा सत्य है?

  1. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  2. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  3. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =
  4. PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : PH0(R = 6) = , PH0(R = 9) =

Tests of Hypotheses Question 12 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 3 है।

हम मुख्य रूप से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं

यदि संभव हो तो हम सांख्यिकी भाग के समाधान प्रदान करने का प्रयास करेंगे।

Tests of Hypotheses Question 13:

5 यादृच्छिक रूप से चयनित संरचनाओं से कंक्रीट की अपरूपण सामर्थ्य पर अवलोकन नीचे दिए गए हैं:

संरचना 1 2 3 4 5
अपरूपण सामर्थ्य 1718.4 1787.4 2562.3 2356.9 2153.2

शून्य परिकल्पना H 0 कि औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाई है, का परीक्षण वैकल्पिक परिकल्पना H 1 के विरुद्ध किया जाता है कि औसत अपरूपण सामर्थ्य 5% महत्व स्तर पर 2000 इकाई से अधिक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

  1. संकेत परीक्षण का p-मान 0.04 है
  2. H को संकेत परीक्षण द्वारा 5% महत्व के स्तर पर अस्वीकृत नहीं किया गया है
  3. विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण सांख्यिकी W + का प्रेक्षित मान 10 के बराबर है
  4. यदि P H0 (W + ≥ 14) = 0.06, तो A, को विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण द्वारा 5% महत्व के स्तर पर खारिज कर दिया जाता है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 13 Detailed Solution

अवधारणा:

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण :

उद्देश्य : इस परीक्षण का उपयोग युग्मित डेटा के माध्यिकाओं में अंतर का पता लगाने या यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या एकल नमूने का माध्यिका निर्दिष्ट मान से भिन्न है।

  • प्रत्येक अवलोकन और परिकल्पित माध्यिका (2000 इकाई) के बीच अंतर की गणना करें

  • इन अंतरों के निरपेक्ष मान लें और उन्हें सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करें।

  • रैंकों को मूल चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) प्रदान करें

  • धनात्मक रैंक ( W + ) का योग और ऋणात्मक रैंक ( W - ) का योग की गणना करें

  • परीक्षण का आंकड़ा यह है इन दो राशियों में से छोटी राशि है। 

 

स्पष्टीकरण:

कंक्रीट की अपरूपण सामर्थ्य पर अवलोकन:

[1718.4, 1787.4, 2562.3, 2356.9, 2153.2]

शून्य परिकल्पना : औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाई है।

वैकल्पिक परिकल्पना औसत अपरूपण सामर्थ्य 2000 इकाइयों से अधिक है।

यह परीक्षण 5% सार्थकता स्तर पर आयोजित किया जाता है।

संकेत परीक्षण प्रत्येक अवलोकन की तुलना परिकल्पित माध्यिका (इस मामले में 2000) से करता है। यदि अवलोकन

यदि 2000 से अधिक है, तो हम "+" चिन्ह लगाते हैं; यदि 2000 से कम है, तो हम "-" चिन्ह लगाते हैं।

दिए गए अवलोकन इस प्रकार हैं:

[1718.4, 1787.4, 2562.3, 2356.9, 2153.2]

2000 से तुलना:

1718.4: - ,1787.4: - , 2562.3: + , 2356.9: + , 2153.2: +

इसमें 3 धनात्मक चिह्न और 2 ऋणात्मक चिह्न हैं।

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित रैंक परीक्षण के लिए, हम प्रत्येक अवलोकन और के बीच पूर्ण अंतर की गणना करते हैं

2000, इन अंतरों को रैंक करें, और संबंधित संकेत निर्दिष्ट करें

1. (रैंक 1)

2. |1787.4 - 2000| = 212.6 (रैंक 2)

3. |2562.3 - 2000| = 562.3 (रैंक 5)

4. |2356.9 - 2000| = 356.9 (रैंक 4)

5. |2153.2 - 2000| = 153.2 (रैंक 3)

अब चिह्न निर्दिष्ट करें:

-281.6 : रैंक 1 (−)

-212.6 : रैंक 2 (−)

+562.3 : रैंक 5 (+)

+356.9 : रैंक 4 (+)

+153.2 : रैंक 3 (+)

धनात्मक अंतर के अनुरूप रैंकों का योग है

ऋणात्मक अंतर अनुरूप रैंकों का योग है

चूँकि परीक्षण एक-पूच्छीय है, इसलिए परीक्षण सांख्यिकी है।

विलकॉक्सन हस्ताक्षरित-रैंक परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण मान तालिका का उपयोग करते हुए (डेटा के 5 जोड़े और एक-पुच्छीय परीक्षण के लिए 5% महत्व स्तर पर),

हम परीक्षण सांख्यिकी तुलना महत्वपूर्ण मान से करते हैं।

आमतौर पर, 5 जोड़ों और 5% सार्थकता स्तर के लिए, एक-पुच्छीय परीक्षण के लिए महत्वपूर्ण मान लगभग 10 होता है।

विकल्प 1 : संकेत परीक्षण के लिए p-मान 0.04 नहीं है। सही p-मान की गणना की आवश्यकता होगी, लेकिन विश्लेषण से,

यह 0.04 नहीं है। इसलिए, विकल्प 1 गलत है।

विकल्प 2:संकेत परीक्षण के आधार पर, 3 धनात्मक और 2 ऋणात्मक मान हैं। 5% महत्व स्तर पर, केवल 5 डेटा बिंदुओं के साथ,

हम तब तक अस्वीकार नहीं करते जब तक कि p-मान बहुत छोटा न हो। इस प्रकार, विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3: विलकॉक्सन साइन-रैंक परीक्षण से हमारी गणना के आधार पर का प्रेक्षित मान वास्तव में 10 है। विकल्प 3 सत्य है।

विकल्प 4: कथन में 0.06 का महत्व स्तर निहित है, लेकिन यदि , तो हमारे द्वारा गणना की गई रैंक के अनुसार यह गलत है।

अतः विकल्प 4 गलत है।


सही विकल्प 2) और 3) हैं।

Tests of Hypotheses Question 14:

X एक असतत यादृच्छिक चर है जो समुच्चय {-2, -1, 1, 2} पर परिभाषित है, जिसके प्रायिकता द्रव्यमान फलन Pθ[X = x], θ ∈ (θ0, θ1) नीचे दिए गए हैं

X -2 -1 1 2
θ = θ0 0.05 0.6 0.3 0.05
θ = θ1 0.2 0.4 0.2 0.2


H0 : θ = θ0 के विरुद्ध H1 : θ = θ1 का परीक्षण करने का उद्देश्य है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?

  1. क्रांतिक क्षेत्र {x = 2} वाला परीक्षण प्रक्रिया 0.05 आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण है
  2. क्रांतिक क्षेत्र {x = -2} वाला परीक्षण प्रक्रिया 0.05 आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण है
  3. क्रांतिक क्षेत्र {x = -1} वाला परीक्षण प्रक्रिया अपने आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण नहीं है
  4. क्रांतिक क्षेत्र {x = 1} वाला परीक्षण प्रक्रिया अपने आकार का सबसे शक्तिशाली परीक्षण नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Tests of Hypotheses Question 14 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 1, 2, 3 और 4 है
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