Laplace Equation, Heat and Wave Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Laplace Equation, Heat and Wave Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

+ f(x, y, u, , ) = 0 के रूप का एक द्वितीय क्रम आंशिक अवकल समीकरण

(i) अतिपरवलयाकार है यदि S2 - 4RT > 0

(ii) परवलयाकार है यदि S2 - 4RT = 0

(iii) दीर्घवृत्ताकार है यदि S2 - 4RT

व्याख्या:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

-

यहाँ S2 - 4RT = (xy)2 - 4x2(-2y2) = x2y2 + 8x2y2 = 9x2y2 = 9(xy)2

यदि y = 0 तो S2 - 4RT = 0, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार है।

(1) गलत है

यदि x > 0, y > 0, S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(2) गलत है

यदि x 0 तब S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(3) सही है

यदि x = 0, y > 0 तब S2 - 4RT = 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार हो सकता है

(4) गलत है

व्याख्या:

दिया गया है

0\) प्रारंभिक प्रतिबंध के साथ

जो अनंत प्रांत के लिए एक ऊष्मा समीकरण है।

इसलिए हल है:

u(x, t) =

यहाँ f(x) = sin 4x + x + 1 और c = 1 तब

u(x, t) = ....(i)

(1): =

मान लीजिए,  इसलिए

=

= ......(ii)

और =

मान लीजिए  इसलिए

=

= .....(iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें मिलता है

=

=

= (मान लीजिए कि u = 2p तब du = 2dp)

=

= 2

(1) सही है।

(ii) और (iii) से हम देख सकते हैं कि (2), (3), (4) गलत हैं।

संप्रत्यय:

के रूप का द्वितीय कोटि आंशिक अवकल समीकरण + f(x, y, u, , ) = 0 है

(i) अतिपरवलयिक यदि S² - 4RT > 0 है 

(ii) परवलयिक यदि S2 - 4RT = 0 है 

(iii) दीर्घवृत्तीय यदि S2 - 4RT

व्याख्या:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

-

यहाँ R = x, S = - 2x²y और T = -5y

यहाँ S2 - 4RT = (-2x²y)² - 4x(-5y) = 4x4y2 + 20xy

जब xy ≠ 0 और x और y दोनों का चिह्न समान है,

⇒ S2 - 4RT = 4x4y2 + 20xy > 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है। 

(3) सही है, (4) गलत है। 

जब x > 0, y > 0, S2 - 4RT = 4x4y2 + 20xy > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है। 

(2) गलत है। 

जब y > 0

यदि x = 0 तब S2 - 4RT = 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक हो सकता है। 

(1) गलत है। 

हल

दिया गया है,

हम इसे लिख सकते हैं

C.F = u(x, t) = f(x - t) + g(x + t)

और PI =

द्विपद प्रसार का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

और इसलिए ,

इसलिए ut = f'(x + t) -g'(x - t) + 3t²

प्रारंभिक शर्तों को लागू करते हुए,

u(x,0) = cos x

हमें मिलता है f(x) + g(x) + = cos x ...........(i)

और ut(x, 0) = 0 ⇒ f'(x) - g'(x) = 0 ..........(ii)

(ii) से, f'(x) = g'(x) और समाकलन करने पर हमें f(x) = g(x) प्राप्त होता है

इसे (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

2f(x) + = cos x ⇒ f(x) = = g(x)

इसलिए

यह प्रश्न गलत है। समाधान में त्रुटि है।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

PDE के रूप के लिए डेलम्बर्ट हल

0\)

u(x, 0) = f(x), u_t(x, 0) = g(x) है

u(x, t) = [f(x+ct) + f(x - ct)] +

व्याख्या:

0 \\ u(x, 0)=f(x), \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=0, x \in \mathbb{R} \end{array}\right\}\)

जहाँ f : ℝ → ℝ संबंधों f(x) = x(1 - x) ∀ x ∈[0, 1] और f(x + 1) = f(x) ∀ x ∈ ℝ को संतुष्ट करता है।

यहाँ c = 1 और g(x) = 0. इसलिए डेलम्बर्ट हल का उपयोग करते हुए,

u(x, t) = [f(x+t) + f(x-t)] +

= [f(x+t) + f(x-t)]

इसलिए, =

=

=

= (f(x + 1) = f(x) ∀ x ∈ ℝ का उपयोग करते हुए)

= (चूँकि f(x) = x(1 - x) ∀ x ∈ [0, 1] )

=

विकल्प (3) सही है

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0

u = [f(x + ct) + f(x - ct)] + (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = [f(x + t) + f(x - t)] +

= [sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = (sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = [sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = [sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = [cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = [cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

व्याख्या:

दिया गया है

0\) प्रारंभिक प्रतिबंध के साथ

जो अनंत प्रांत के लिए एक ऊष्मा समीकरण है।

इसलिए हल है:

u(x, t) =

यहाँ f(x) = sin 4x + x + 1 और c = 1 तब

u(x, t) = ....(i)

(1): =

मान लीजिए,  इसलिए

=

= ......(ii)

और =

मान लीजिए  इसलिए

=

= .....(iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें मिलता है

=

=

= (मान लीजिए कि u = 2p तब du = 2dp)

=

= 2

(1) सही है।

(ii) और (iii) से हम देख सकते हैं कि (2), (3), (4) गलत हैं।

संकल्पना:

utt − c²uxx = 0 का हल प्रारंभिक स्थिति, u(0, t) = u(L, t) = 0 सभी t के लिए और सीमा स्थिति y(x, 0) = f(x), y_t(x, 0) = g(x) 0

u = [f(x + ct) + f(x - ct)] + (D'alembert हल)

व्याख्या:

दिया गया है

utt − uxx = 0, 0 0

u(0, t) = 0 = u(2, t), ∀ t > 0,

u(x, 0) = sin(πx) + 2sin(2πx), 0 ≤ x ≤ 2,

ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 2

यहाँ f(x) = sin(πx) + 2sin(2πx) और g(x) = 0, c = 1

इसलिए u(x, t) = [f(x + t) + f(x - t)] +

= [sin(π(x+t)) + sin(π(x-t))] + sin(2π(x+t)) + sin(2π(x-t))

इसलिए u(1, 1) = (sin 2π + sin 0)+ sin4π + sin 0 = 0

विकल्प (1) गलत है

u(1/2, 1) = [sin (3π/2) - sin(π/2)] + sin(3π) - sin π = - 1

विकल्प (2) गलत है

u(1/2, 2) = [sin (5π/2) - sin(3π/2)] + sin(5π) - sin 3π = 1

विकल्प (3) सही है

इसके अलावा

ut(x, t) = [cos(π(x+t)) - cos(π(x-t))] + 2π cos(2π(x+t)) + 2π cos(2π(x-t))

इसलिए ut(1/2, 1/2) = [cos π - cos0] + 2π cos 2π + 2π cos0 = - π + 2π + 2π = 3π

विकल्प (4) गलत है

संप्रत्यय:

यदि u(x, t) एक समघात आंशिक अवकल समीकरण का हल है, तो u(x- a, t-b) भी a, b ∈ के लिए आंशिक अवकल समीकरण का हल है और u(ax, bt) भी एक हल है जब a = b एक वास्तविक संख्या है।

व्याख्या:

(∗) x, t) ∈ ℝ2

u(x, t), (∗) का हल है।

तब u(x - θ, t) किसी भी स्थिर θ ∈ ℝ के लिए (i) का हल भी है।

u(3x, 3t) भी (∗) का हल है।

u(3x, 9t), (∗) का हल नहीं है क्योंकि 3 ≠ 9 है। 

(3) असत्य है। 

अवधारणा:

तरंग समीकरण का हल

ytt = c2yxx

y(0, t) = y(L, t) = 0 ∀ t  

y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x)

y(x, t) = {f(x + ct) + f(x - ct)} + जिसे डी'एलम्बर्ट का सूत्र कहा जाता है,

स्पष्टीकरण:

दिया गया तरंग समीकरण है,

, -∞ 0,

, x ∈ ℝ

यहाँ c = 2, f(x) = और g(x) =

फिर डी'अलेम्बर्ट के सूत्र का उपयोग करते हुए,

u(x, t) =  + 

तो, u(5, t) = +

तो, = +

= +

= 1 -

= 1 - (0 - 0) = 1

अतः

अतः विकल्प (1) सही है। 

संप्रत्यय:

के रूप का द्वितीय कोटि आंशिक अवकल समीकरण + f(x, y, u, , ) = 0 है

(i) अतिपरवलयिक यदि S² - 4RT > 0 है 

(ii) परवलयिक यदि S2 - 4RT = 0 है 

(iii) दीर्घवृत्तीय यदि S2 - 4RT

व्याख्या:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

-

यहाँ R = x, S = - 2x²y और T = -5y

यहाँ S2 - 4RT = (-2x²y)² - 4x(-5y) = 4x4y2 + 20xy

जब xy ≠ 0 और x और y दोनों का चिह्न समान है,

⇒ S2 - 4RT = 4x4y2 + 20xy > 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है। 

(3) सही है, (4) गलत है। 

जब x > 0, y > 0, S2 - 4RT = 4x4y2 + 20xy > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयिक है। 

(2) गलत है। 

जब y > 0

यदि x = 0 तब S2 - 4RT = 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयिक हो सकता है। 

(1) गलत है। 

हल

दिया गया है,

हम इसे लिख सकते हैं

C.F = u(x, t) = f(x - t) + g(x + t)

और PI =

द्विपद प्रसार का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं,

और इसलिए ,

इसलिए ut = f'(x + t) -g'(x - t) - 3t²

प्रारंभिक शर्तों को लागू करते हुए,

u(x,0) = sin x

हमें मिलता है f(x) + g(x) + = sin x ...........(i)

और ut(x, 0) = 0 ⇒ f'(x) - g'(x) = 0 ..........(ii)

(ii) से, f'(x) = g'(x) और समाकलन करने पर हमें f(x) = g(x) मिलता है

इसे (i) में रखने पर हमें मिलता है

2f(x) + = sin x ⇒ f(x) = = g(x)

इसलिए

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।

व्याख्या:

दिया गया है

0\) प्रारंभिक प्रतिबंध के साथ

जो अनंत प्रांत के लिए एक ऊष्मा समीकरण है।

इसलिए हल है:

u(x, t) =

यहाँ f(x) = sin 4x + x + 1 और c = 1 तब

u(x, t) = ....(i)

(1): =

मान लीजिए,  इसलिए

=

= ......(ii)

और =

मान लीजिए  इसलिए

=

= .....(iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें मिलता है

=

=

= (मान लीजिए कि u = 2p तब du = 2dp)

=

= 2

(1) सही है।

(ii) और (iii) से हम देख सकते हैं कि (2), (3), (4) गलत हैं।

संप्रत्यय:

+ f(x, y, u, , ) = 0 के रूप का एक द्वितीय क्रम आंशिक अवकल समीकरण

(i) अतिपरवलयाकार है यदि S2 - 4RT > 0

(ii) परवलयाकार है यदि S2 - 4RT = 0

(iii) दीर्घवृत्ताकार है यदि S2 - 4RT

व्याख्या:

दिया गया आंशिक अवकल समीकरण है

-

यहाँ S2 - 4RT = (xy)2 - 4x2(-2y2) = x2y2 + 8x2y2 = 9x2y2 = 9(xy)2

यदि y = 0 तो S2 - 4RT = 0, तब आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार है।

(1) गलत है

यदि x > 0, y > 0, S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(2) गलत है

यदि x 0 तब S2 - 4RT > 0

आंशिक अवकल समीकरण अतिपरवलयाकार है

(3) सही है

यदि x = 0, y > 0 तब S2 - 4RT = 0

इसलिए, आंशिक अवकल समीकरण परवलयाकार हो सकता है

(4) गलत है